Aussagenlogik |
| 16.10.2004, 13:46 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| Aussagenlogik es geht erstmal um Elemente der Logik. Folgende Definition:
zwei Aussagen sind ja dann äquivalent, wenn sie denselben Wahrheitswert haben, egal ob dieser wahr oder falsch ist. Allgemeingültig bedeutet aber, dass beim Einsetzen jeder Werte in die Aussagenform der Wahrheitswert wahr rauskommt, die Aussagenform also erfüllbar ist. Ich verstehe nicht, wieso in dieser Definition steht, dass die Aussagenformen dann äquivalent sind, wenn sie allgemeingültig sind. Sie könnten doch auch beide, wenn man Werte einsetzt, einen falschen Wahrheitswert haben, aber trotzdem äquivalent sein. Die Bedingung ist doch nur, dass sie den selben Wahrheitswert haben. Oder verstehe ich was falsch? edit: 2.Frage: Wenn da steht : . Was genau bedeutet das? Bedeutet das, dass aus A irgendetwas, nur nicht B folgt ? Oder bedeutet es doch etwas anderes edit2: Was ist eine "sukzessive Anwenden" ? Dass man etwas nachacheinander immer wieder tut/ausführt/anwendet ? Z.B. :
und, ist es richtig, dass bei Juntionen, z.B. der Äquivalenz nicht der Kontext zweier Aussagen, sondern einfach nur deren Wahrheitswerte wichtig sind ? Also können die beiden Aussagen einen völlig anderen Hintergrund haben. Z.B.: Es ist heute kalt <=> Ich brauche Hilfe (wahr) <=> (wahr) also ist die verknüpfung auch wahr. - Ist folgendes wirklich eine Tautologie ? Zumindest steht das in dem Buch, das ich gerade vor mir habe. (das "v" dazwischen ist das "oder") Denn, das "oder" ist ja ein inklusives "oder", also könnte auch der Fall eintreten, dass beides gilt, nämlich X und die Negation von X. Aber das kann ja nicht sein. Wieso ist es dennoch eine Tautologie? nochn edit:
Wieso muss ich hier nicht zeigen, dass B auch dann wahr ist, wenn A falsch ist ? ich weiß, viele Fragen auf einmal, aber Vielen Dank. |
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| 16.10.2004, 19:13 | slyck | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Zu der 1. Frage: das ist im Prinzip die Definition von Äquivalenz: 2 Formeln X und Y sind dann äquivalent, wenn sie für jede Belegung den gleichen Wahrheitswert besitzen. Das ist aber genau die Aussage: ist allgemeingültig. Denn: wenn beide zu falsch ausgewertet werden, ist wahr; und wenn beide zu wahr ausgewertet werden, dann auch. ist nur dann nicht allgemeingültig, wenn es eine Belegung gibt, die z.B. X zu wahr und Y zu falsch auswertet - dann sind die Formeln aber auch nicht äquivalent. Klar? zu 2. es ist schwierig, komplexere Formeln umgangssprachlich sinnvoll zu interpretieren. da steht im Endeffekt: es gilt nicht, daß B aus A folgt. Wenn du das äquivalent umformst, ist das das gleiche wie , also: die Formel ist gültig, wenn A zu wahr und B zu falsch ausgewertet werden zu 3. ja, sukzessive heißt immer wieder hintereinander ... zu 4. das entscheidende bei der Aussagenlogik ist, daß die Aussage X bei einer Belegung entweder wahr oder falsch wird. Dann wird aber jeweils entgegengesetzt zu falsch oder wahr ausgewertet. Die Aussage ist dann immer wahr (weil entweder X oder wahr ist). Und das ist genau die Definition einer Tautologie: etwas, was immer wahr ist. zu 5. nun ja, das ist halt die Definition von . Das sagt mir halt nur, daß wenn A gilt, dann auch B gelten muß. Ich weiß also nicht, was mit B ist, wenn A nicht gilt - und muß es deshalb auch nicht untersuchen. |
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| 16.10.2004, 19:20 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| RE: Aussagenlogik Hui, ganz schön viele Fragen! Ich fang mal bei der ersten. an:
Das allgemeingültig bezieht sich doch auf die Aussagenform. Beispiel: Heute ist nicht Sonntag <=> Morgen ist nicht Montag. Heute ist Sonntag <=> Morgen ist Montag. Also ist diese Aussagenform äquivalent denn beide Aussageformen sind ja korrekt (also wahr). So versteh ich das.
A => B <=> -A or B. Also -(A => B) <=> -(-A or B). Um dir das nun zu veranschaulichen oder weiter zu vereinfachen, zeichne dir doch einfach mal ein Venn-Diagramm und markiere den Bereich, den -(-A or B) umfasst.
Sukzessiv bedeutet "aufeinanderfolgend" bzw. "schrittweise".
A <=> B := A=>B AND B=>A. Brauchst du denn Hilfe, weil es heute kalt ist? Oder ist es denn kalt, weil du heute Hilfe brauchst?
Ja, es ist eine Tautologie. Mal dir doch mal ein Venn-Diagramm 
Es kann AND, muss aber nicht AND heißen
Aus etwas Falschem kannst du doch alles mögliche folgern. Das macht meiner Meinung nach keinen Sinn. Gruß, therisen |
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| 16.10.2004, 20:03 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Zum 4. nochmal: . Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten für den Wahrheitswert von X. Erstens kann X wahr sein. Zweitens kann X falsch sein. Betrachten wir jetzt mal für Aussagen A und B, also zwei verschiedene, die nicht Gegenteil voneinander sind. das "v", also das oder, das inklusive, ist hier der Junktor. wir nehmen die Aussagen A und B. Dieses kann heißen, dass entweder A oder gilt, oder dass beide zusammen gelten. Und wenn man das auf X und sein gegenteil überträgt, kann es ja nicht gelten, dass beide zusammen auftreten. Müsste es mathematisch korrekt nicht ein EXKLUSIVES ODER hier sein, also bei oder geht auch das NORMALE ODER, gerade weil die sowieso nicht zusammen auftreten können? Ist es eigentlich ein Axiom, dass eine Aussage nicht mit ihrem Gegenteil auftreten darf? |
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| 16.10.2004, 22:01 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
nein, das exklusive 'oder' geht gerade nicht. Ich sehe dein Problem nicht, ist doch was 'Simples' Ist X eine beliebige Aussage, dann ist entweder die Aussage selbst wahr oder falls nicht dann ist ihre Verneinung 'NichtX' wahr Nun ist aber ' quasi per Definition der 'oder-Fkt' ' Wahr 'oder' Falsch : = Wahr also, X 'oder' NichtX = Wahr das ist alles. (3=5) 'oder' (3<>5) == Falsch 'oder' Wahr == Wahr . |
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| 17.10.2004, 01:14 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
wieso definiert man das "oder" denn so:
Ich denke vielleicht nicht formallogisch. Vielleicht denke ich umgangssprachlich. das "oder" kann doch die Funktion eines "und" einnehmen, da es inklusiv ist. Aber wenn ich das hier habe: (wahr) v (falsch) und tritt genau beides ein, also die Funktion des "und" wird eingenommen, wie kann wahr und falsch = wahr ergeben ? hier kommen wir wohl wieder zurück zur definition. Außerdem ist oben n Fehler in meinem letzten beitrag: Es ist nicht >> Dieses kann heißen, dass entweder A oder nichtB gilt, oder dass beide zusammen gelten.<< sondern muss heißen: >>>Dieses kann heißen, dass entweder A oder B gilt, oder dass beide zusammen gelten.<<< |
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| 17.10.2004, 02:43 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
das 'oder' ist hier nicht oder sogar nie in der Logik das auschließende 'oder'. Wenn doch, dann NUR über ein anderes Symbol Dein Hauptproblem denke ich kommt klar von der umgangs- sprachlichen Bedeutung des 'oder' Begriffs. Das Problem dürften die meisten haben wenn sie die ersten Kontakte damit haben. das "oder" kann doch die Funktion eines "und" einnehmen, da es inklusiv ist. hüte dich vor solchen Formulierrungen, das bringt dich nur erneut in Probs wenns dann ums 'und' geht. Das oder nimmt nirgends eine Funktion des 'und' ein sondern stets nur die Funktion des 'oder' und die ist recht einfach 'definiert' wahr 'oder' wahr == wahr wahr 'oder' falsch == wahr falsch 'oder' wahr == wahr falsch 'oder' falsch == falsch wahr 'und' wahr == wahr wahr 'und' falsch == falsch falsch 'und' wahr == falsch falsch 'und' falsch == falsch Aber wenn ich das hier habe: (wahr) v (falsch) und tritt genau beides ein, also die Funktion des "und" wird eingenommen, wie kann wahr und falsch = wahr ergeben ? da wird keine Funktion des 'und' eingenommen :-oo ??? das 'oder' musst dir einfach als das MAXIMUM des angebotenen in Richtung 'wahr' denken, wobei 'wahr' das Maximum darstellt. (kommt nur ein einziges 'wahr' vor ist der kompl. Ausdr. wahr) das 'und' must dir als das MINIMUM des angebotenen in Richtung 'falsch' denken, wobei 'falsch' das Minimum darstellt. (kommt nur ein einziges 'falsch' vor ist der kompl. Ausdr. falsch) . |
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| 17.10.2004, 11:04 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Gibt es denn irgendeine Rechtfertigung für SOLCH eine Definition von Junktionen ? Und, bei KEINER Junktion müssen die betreffenden Aussagen miteinander etwas zu tun haben (Kontext), richtig ? das, nur mal um gaanz sicher zu gehen
Jetzt Zur Bindungsstärke.
In einer anderen Quelle finde ich das hier:
Was ist denn jetzt richtig ? Und: - binden die Junktoren "und" und "oder" gleich stark? - binden " " => und <=> gleich stark? Danke. |
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| 17.10.2004, 12:42 | slyck | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Die Bindungsstärke ist eigentlich nur eine Definition, um sich Klammern zu sparen. Und das kann man im Prinzip festlegen wie man möchte ... Meist ist "nicht" stärker als "und" und oder stärker als "=>" und "<=>". (Also so wie in deiner 1. Quelle) Aber das ist nur Festlegungssache! Man könnte z.B. genauso festlegen, daß "und" stärker bindet als "oder" ... Und zu der Definition der Junktoren: im Prinzip ist das auch wieder eine Frage der Definition. Man legt halt fest, wie diese Junktoren arbeiten. Und diese Definition hat sich bewährt
Es ist ein bißchen schwierig, weil wir in der Sprache "und", "oder" usw. anders benutzen. Deshalb solltest du versuchen, sehr genau dazwischen zu trennen.Das die Aussagen nichts miteinander zu tun haben müssen, kommt im Prinzip aus der Theorie. Man definiert zuerst die Syntax (also wie die Formeln aussehn) und dann die Semantik (also was sie aussagen). Und da syntaktisch nun mal solche Aussagen erlaubt sind, muß man ihnen auch eine Semantik geben (die dann bei der sprachlichen Interpretation wieder sehr komisch wirkt). |
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