Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable

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18.10.2004, 15:48	brock	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable HI, ich versuche folgende Aufgabe zu lösen.Ich komme zwar auf eine Lösung, aber laut Aufgabenlösung ist sie falsch. Die Aufgabe lautet: Es sei $\begin{eqnarray} \lambda : R\Rightarrow R \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \lambda (x)= a(-(x+1)^2+1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} -2\leq x \leq 0 \end{eqnarray}$ . 1.Aufgabe : Bestimmen Sie a, so dass $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ die Dichte einer Zufallsvariablen X ist. Ich habe für $\begin{eqnarray} a= \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ raus. Was auch richtig sein soll. Nun aber die 2.Aufgabe: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} a)P(0 \leq X\leq 1);b)P(-2\leq X\leq 1);c)P(-3\leq X\leq -\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ Mit der Formel $\begin{eqnarray} P(\alpha \leq X \leq \beta )= \int_{\alpha }^{\beta }~\lambda(x)~dx \end{eqnarray}$ komme ich auf folgene Werte: $\begin{eqnarray} a)=-1 ; b)=0 ; c)= \frac{5}{32} \end{eqnarray}$ Raus kommen soll aber: $\begin{eqnarray} a)=0 ; b)=1 ; c)= \frac{27}{32} \end{eqnarray}$ Was mache ich falsch, oder sind die gegebenen Ergebnisse nicht richtig. edit: latex-Code verbessert, in latex bitte immer ^2 statt ² schreiben, für einige Browser (wie lupos z.B.) wird das nicht angezeigt (MSS)
18.10.2004, 16:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
zeig doch mal, wie du intergriert hast, dann suchen wir den Fehler, falls einer drin ist. edit: Bei a) musst du aufpassen, das is ne Falle. Wie ist denn der Definitionsbereich? Liegt X bei a überhaupt in diesem? Bei c) musst du genauso auf den Definitionsbereich aufpassen
18.10.2004, 16:27	lupo1977	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe nicht wie $\begin{eqnarray} \lambda(x)=-ax-a \end{eqnarray}$ für a=3/4 eine Dichte in [-2,0] sein soll. Für Dichten gilt überall >=0! Hast Du die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben?
18.10.2004, 16:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum denn diese lineare Funktion? Er hat doch ne Funktion angegeben: $\begin{eqnarray} \lambda (x)=a(-(x+1)^2+1) \end{eqnarray}$ für [-2,0] edit: @lupo Leider hat er in latex ² geschrieben und nicht ^2, was bei deinem Browser bewirkt, dass der Rest dann nicht mehr angezeigt wird
18.10.2004, 16:34	lupo1977	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, alles klar. Sorry...
18.10.2004, 16:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
War ja nich dein Fehler
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18.10.2004, 17:50	brock	Auf diesen Beitrag antworten »
Also a) $\begin{eqnarray} P(0\leq X\leq 1)=\int_{0}^{1}~\frac{3}{4} x^{2}-\frac{3}{2}x~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow [-\frac{3}{12}x^{3}- \frac{3}{4} x^{2}]_{0}^1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow -\frac{1}{4} -\frac{3}{4} = -1 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} P(-2\leq X\leq 1)= [-\frac{3}{12} x^{3} -\frac{3}{4} x^{2}]_{-2}^1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow = 0 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} P(-3\leq X\leq -\frac{1}{2})= [-\frac{1}{4} x^{3}- \frac{3}{4}x^{2}]_{-3}^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{5}{32} \end{eqnarray}$ edit: latex-Code verbessert, Exponenten immer in geschweifte Klammern (MSS)
18.10.2004, 17:55	lupo1977	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal auf die Definition der Dichtefunktion. In welchen Bereichen ist sie 0 und wo ist sie gerade [latex]\lambda(x)[\latex]?
18.10.2004, 20:11	brock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist OK, bin mittlerweile auf die richtigen Ergebnisse gekommen. Danke für die Hilfe.
18.10.2004, 20:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, du kannst nicht einfach de Integrale für diese Grenzen berechnen! Denn der Bereich $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray}$ gehört ja gar nicht zum Definitionsbereich, also ist dort die Wahrscheinlichkeit immer wie groß? Bei $\begin{eqnarray} -3\leq x\leq -0,5 \end{eqnarray}$ gehört auch ein Teil nicht zum Definitionsbereich, da musst du die Grenze -3 "austauschen". Außerdem kannst du dir selbst klar machen, dass dein Ergebnis bei a) nicht stimmt, denn die WK kann nicht negativ sein! Und bei b) kanns schon wegen dem Definitionsbereich nicht stimmen (das is ja allgemein dein Fehler, bei a, b und c) @lupo Du musst am Ende des latex-Codes [/latex] und nicht [\latex] schreiben

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