Erklärung des Limes

16.03.2007, 16:41

andreboleole

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Erklärung des Limes

Hallo,

Könnt ihr mir bitter erklären, wie man mit dem Limes rechnet?! Wir haben zur Zeit Grenzwerte bei Zahlenfolgen als Thema.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n+7}{3n^2+4} \end{eqnarray*}$

Angenommen, diese explizite Zuordnungsvorschrift (s.o.) ist gegeben, wie berechne ich mit Hilfe des Limes (s.o) den Grenzwert?

Habe ich ihn damit gleich bewiesen und $\begin{eqnarray*} \mid a_n-g \mid < E \end{eqnarray*}$ ist überflüssig?

MfG

16.03.2007, 16:53

zt

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RE: Erklärung des Limes
Du musst glaub ich die Höchste Potenz von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausklammern und dir dann vorstellen, dass du für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einen unendlich großen Wert einsetzt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{2n+7}{3n^2+4}=\frac{n\left(2+\frac{7}{n}\right)}{n^2\left(3+\frac{4}{n^2}\right)}=0 \end{eqnarray*}$

16.03.2007, 17:00

andreboleole

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Wenn man annimmt, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein unendlich großer Wert ist, kann man dann das Ausgeklammerte vernachlässigen?

16.03.2007, 17:11

Bert

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Zitat:

Original von andreboleole
Wenn man annimmt, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein unendlich großer Wert ist, kann man dann das Ausgeklammerte vernachlässigen?

Probier das doch. Rechne den Term aus für (sagen wir) n=10^15 (was ja noch lange nicht unendlich ist...).

16.03.2007, 17:12

peter bowzown

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aufgrund des faktors 0 ja!

aber (ich bin mir zwar nich sicher) in dem ausdruck mit dem limes muß glaube ich "=g" stehen und nicht "=a"...

16.03.2007, 17:13

peter bowzown

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sorry,bert...

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16.03.2007, 17:30

klarsoweit

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RE: Erklärung des Limes
Methode 1: du weist nach, daß mit einem Bestimmten g die Definition des Grenzwerts erfüllt ist. Das heißt, zu zeigst:
Zu jedem epsilon > 0 gibt es ein N, so daß für alle n > N
$\begin{eqnarray*} \mid a_n-g \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Methode 2: du kennst Grenzwertsätze und darfst sie nutzen. Dann hilft eine Umformung:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n+7}{3n^2+4} = \frac{n^2 \cdot (2/n+7/n^2)}{n^2 \cdot (3+4/n^2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du kürzen und Grenzwertsätze anwenden.

16.03.2007, 19:53

andreboleole

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Okay, vielen Dank für euere Hilfe schonmal!!!

Wir kriegen die Grenzwertsätze erst nächste Unterrichtsstunde erklärt. Könntest du daher deine Lösung weiterführen, wie damit zeigen, wie man die Grenzwertsätze anwendet? Wäre sehr nett...

Ich habe gerade noch eine Aufgabe gerechnet, aber bekomme sie nciht gelöst. Vielleicht könnt ihr mir ja auch helfen. So brauch ich keinen neunen Thread aufmachen.

Gegeben sei die Folge( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2*10^n-1}{10^n} \end{eqnarray*}$ . Geben Sie eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ an, so dass $\begin{eqnarray*} 1,999<a_n<2 \end{eqnarray*}$ ist! Rechnung (nicht proieren)!

Ich habe versucht für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einen beliebigen Wert zwischen 1,999 und 2 und auch die gesamte Aufgabe in $\begin{eqnarray*} \mid a_n-g \mid <E \end{eqnarray*}$ einzusezten, aber ich bekomme nie eine Lösung heraus. Hab ich mich nur verrechnet oder ist mein Ansatz falsch?

MfG

16.03.2007, 21:00

brain man

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Zitat:

Original von andreboleole
Okay, vielen Dank für euere Hilfe schonmal!!!

Wir kriegen die Grenzwertsätze erst nächste Unterrichtsstunde erklärt. Könntest du daher deine Lösung weiterführen, wie damit zeigen, wie man die Grenzwertsätze anwendet? Wäre sehr nett...

Dabei hilft wohl :

Seien $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent, so gilt :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}} \end{eqnarray*}$

16.03.2007, 21:16

andreboleole

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Ehrlich gesagt: Nein! Sorry, aber ich hab noch nie in meinen Leben mit Limes gerechnet.

16.03.2007, 21:28

klarsoweit

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Kein Wunder, wenn ihr das erst demnächst im Unterricht habt.

Zu der anderen Aufgabe:
Auch hier hilft eine Umformung:
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2 \cdot 10^n-1}{10^n} = \frac{2 \cdot 10^n}{10^n} - \frac{1}{10^n} = 2 - \frac{1}{10^n} \end{eqnarray*}$

Wie man leicht sieht, ist immer a_n < 2. Jetzt mußt du nur noch ein N suchen, ab dem 1,999 < a_n ist.

Setze in 1,999 < a_n das a_n ein und forme um.

16.03.2007, 21:28

andreboleole

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Okay, ich hab muss dazu noch sagen, dass ich bis zum folgenden komme:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n=\frac{2n+7}{3n²+4}= \frac{n^2*(\frac{2}{n}+\frac{7}{n^2})}{n^2*(3+\frac{4}{n^2})} = \frac{\frac{2}{n}+\frac{7}{n^2}}{3+\frac{4}{n^2}} = \frac{\lim_{n \to \infty } \frac{2}{n}+\frac{7}{n^2}}{\lim_{n \to \infty } 3+\frac{4}{n^2}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß danach jedoch nicht weiter und bin mir auch sehr unsicher,ob das soweit richtig ist...

16.03.2007, 21:32

klarsoweit

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Soweit ok. Jetzt gibt es noch einen Grenzwertsatz:

Sind a_n und b_n konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw. b, dann ist die Folge c_n = a_n + b_n konvergent und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~c_n = \lim_{n \to \infty}~a_n + \lim_{n \to \infty}~b_n= a + b \end{eqnarray*}$

16.03.2007, 21:42

andreboleole

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Das heißt ich habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{n} + \frac{7}{n^2}}{3+\frac{4}{n^2} } \end{eqnarray*}$

Und nun? Kann ich das wie bei einer Gleichung weiter umformen oder sehe ich dadran schon etwas?

16.03.2007, 21:45

klarsoweit

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Nein das hast du nicht. Nach der Grenzwertbildung darf das n nicht mehr vorkommen. Du mußt halt den Grenzwert von jedem Summanden finden.

16.03.2007, 21:52

andreboleole

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Okay, jetzt versteh ich das garnicht mehr. Tut mir leid. Also vor jedem Summanden heißt ja z.b.: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n} + \lim_{n \to \infty } \frac{7}{n^2} \end{eqnarray*}$
Oder versteh ich das falsch?

Könntest du das bitte etwas ausfürhlicher erklären.

Danke!

16.03.2007, 22:03

andreboleole

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Ich glaube ich habs jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac {\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + \lim_{n \to \infty}\frac{7}{n^2}} {\lim_{n \to \infty} 3 +\lim_{n \to \infty}\frac{4}{n^2}} = \frac{0+0}{3+0}=0 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Also kann man für alle Brüch, in denen n auftaucht, 0 einsetzen, da n ja unendlich ist?

17.03.2007, 01:52

pseudo-nym

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Ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}=0 \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 11:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von andreboleole
Ist das so richtig? Also kann man für alle Brüch, in denen n auftaucht, 0 einsetzen, da n ja unendlich ist?

Ja und nein.

Ja: bei Brüchen der Form $\begin{eqnarray*} \frac c n \end{eqnarray*}$ mit konstantem c ist der Grenzwert 0 für n gegen unendlich. Insofern stimmt dein Ergebnis.

Nein: n ist nicht unendlich. n ist immer eine natürliche Zahl und die Zahl unendlich gibt es nicht. n wird bei der Grenzwertbildung beliebig groß. Mehr nicht.

17.03.2007, 12:16

andreboleole

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Okay, vielen Dank! Jetzt hab ich 's, glaub ich jedenfalls, verstanden.

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