geometrische Summe und Induktionsaufgabe |
19.10.2004, 21:24 | cbt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
geometrische Summe und Induktionsaufgabe erste Aufgabe ist: k=1 bis 100 sigma 1,5^(k-1) (Ich schreibe in normaler Formel: 1,5^0 + 1,5^1 + 1,5^2 + 1,5^3 + ...+ 1,5^99 = ??? ) sorry, ich weiß nicht, wie man die math Symbole in der Forum erstellen kann. (z.B: wie kann ich ein sigma Symbol haben?) 2.Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n>= 1 folgendes gilt: 1*2 + 2*3+ 3*4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 Ich bedanke mich für Ihre Hilfe. CBT edit: Titel geändert, bitte aussagekräftige Titel wählen! Hilfe braucht hier fast jeder... (MSS) |
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19.10.2004, 21:47 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Zur ersten: Kennst du die Summenformel für geometrische Summen? 2. Schon ne Idee? Hast du schon den Induktionsanfang? Der Induktionsschritt is relativ einfach, auch schon ne Idee? |
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20.10.2004, 00:53 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Auch hier gilt: Das Thema NICHT mit solchen nichtssagenden Überschriften "Bitte hilf mir ..." versehen! Im Titel soll kurz stehen, um was es geht, also z.B. "Induktionsbeweis" od. "Summe einer Reihe" ... Ein wenig möchte ich auch (MSS) noch präzisieren: Es ist die Summe einer endlichen geometrischen Reihe gemeint! (Erstes Glied 1, Quotient 1,5, Anzahl der Glieder ...?) Zum Verfahren der vollständigen Induktion: 1.: Induktionsanfang: Formel für ein beliebiges n aus der Def. Menge überprüfen 2.: Induktionsannahme (-Voraussetzung): Formel sei für n richtig, damit mittels Induktionsschluss die Richtigkeit für (n+1) zeigen (Schluss von n auf n+1). Gr mYthos |
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20.10.2004, 22:48 | cbt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Enschuldigung to all Ich kann Deutsch schlecht, deshalb weiß ich nicht wie man formulieren soll, außerdem weiß ich auch nicht, in welcher Art meine Aufgabe ist. Induktion habe ich noch nicht gelernt. Nächstes Mal bemühe ich mich eine bessere Titel zu schreiben. [quote=MSS] Zur ersten: Kennst du die Summenformel für geometrische Summen? [/quote] Sorry, ich kenne nicht. Kann man diese Aufgabe lösen mit ohne Kenntnisse über geometrische Summen?? 2.Aufgabe:
Ich bemühe mich eine Idee zu haben. Also schreibe ich: 1*2 + 2*3+ 3*4 + ... + n(n+1) =1*(1+1) + 2*(2+1) + 3* (3+1) + ... + n(n+1) =(1+2+3+ ... + n) + (1² + 2²+ 3² + ...+ n²) = (1+n).n/2 + (1² + 2²+ 3² + ...+ n²) Ich komme nicht weiter, wie kann man die Summen: (1² + 2²+ 3² + ...+ n²) rechnen :-( Kannst du mir bitte noch eine Hinweis geben?? Vielen Dank!! gruß, CBT |
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20.10.2004, 23:19 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Also schlecht würde ich dein Deutsch nicht nennen! Also ohne die Summenformel könntest du es nur ausrechnen. Aber sie is leicht herzuleiten, ich geb sie dir mal. Wenn du eine Herleitung haben willst, sag nochmal Bescheid. Also: n is bei dir 99, was is wohl das q in deinem Beispiel? Zu der zweiten Aufgabe: Was du da grad machst, is ein Ansatz zur Herleitung der Formel, also ein direkter Beweis. Du sollst es aber über Induktion machen. Weißt du denn, was Induktion ist und wie das überhaupt geht? |
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20.10.2004, 23:40 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Dem kann ich mich nicht anschließen! Vielmehr ist und n = 100, aber k geht von 0 bis 99 Die geometrische Reihe hat demnach 100 Glieder, der Quotient ist 1,5 und deren Summe ist |
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20.10.2004, 23:54 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Danke für die Verbesserung! Ich mach aber auch Schusslefehler in letzten Tagen ... wollte eigentlich von i=0 bis n schreiben, habs mal verbessert. |
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21.10.2004, 19:56 | cbt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Vielen Dank, MSS und Herr mYthos! Hi Herr mYthos: Ich finde einen Fehler in Ihrer Formel, vielleicht haben Sie nicht aufgepasst : Ich setze Zahlen darauf und habe: 2+2²+3³ # (2³-1)/(2-1) ; Ich hab versuchen es zu korrigieren. Also: Hoffe, dass es richtig ist :-) To MSS:
Ich versuche mal deine oberen Formel zu beweisen. Also: => = = = => A = (w.z.b.w) Ist es richtig?? Außerdem versuche ich diese Formel auch zu erweitern. Ich habe: Zu Aufgabe 2:
Ich habe noch keine Ahnung, was Induktion ist :-( Hier ist die Aufgabe von 2.Halbjahr in meiner Schule aber ich versuch das jetzt zu machen. Ich bedanke mich, wenn du mir zeigen, wie Induktion ist. Thank Herr mYthos and MSS again!! gruß, CBT PS: Ich habe gefunden, wie man [latex] command im Forum benutzt |
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21.10.2004, 21:19 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Saugeil, @cbt. Das ist nicht gegen dich gerichtet, mYthos. Ich finde die Ausdrucksweise nur super. @cbt: Du brauchst uns nicht mit "Sie" anzureden. Wir befinden uns alle auf demselben Niveau. cbt hat recht, da ist tatsächlich ein Fehler drin. Sowohl bei MSS als auch bei mYthos. Es muss heißen |
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21.10.2004, 21:22 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Das ist nicht richtig, mYthos. Damit deckt man dann nicht die Zahlen vor diesem n ab. Man muss die Behauptung für das erste n beweisen, für das die Behauptung gelten soll. @CBT: Wir haben hier einen Workshop zur vollständigen Induktion. Schau mal rein. |
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21.10.2004, 21:30 | cbt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Oh, I'm sorry, Herr mYthos, wenn mein Satz nicht so gut ist. Ich habe keine schlechte Gedanke :-(
Aber zu Herrn mYthos, ich muss "Sie" sagen, weil er 63 Jahre alr ist.
MSS ist nicht falsch, weil bei seinem Formel fängt k von 0 an. k=0 ---> n.
Oh, ich werde suchen. Thank you :-) ! gruß, cbt |
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21.10.2004, 21:38 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein, dein Ausdruck ist super!
Du musst es nicht. Das macht im Internet sowieso so gut wie keiner. Aber wenn du möchtest, darfst du es, und ich bin sicher, dass es ihn ehrt.
Richtig. Das hatte ich übersehen. Komischerweise hatte ich eine 1 gesehen... |
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21.10.2004, 21:47 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@cbt Is alles richtig!! @Webfritzi Ich hatte meine Formel schon verbessert, wie cbt schon gesagt hat Ihn den Workshop suchen lassen, is ja gemein. Hier gehts zum Workshop |
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21.10.2004, 21:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Dann ist es also doch nicht so einfach mit den Peano-Axiomen. Es gilt ja bekanntlich N(0) ungleich 0! Tss,tss,tss,... |
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22.10.2004, 15:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
ja, und tatsächlich hatte ich das eine q vergessen, denn die Summenformel der geom. Reihe lautet ja Und da das erste Glied nicht 1, sondern q ist, war noch das q zu ergänzen, klaro. @WebFritzi Stimmt, der Induktionsanfang ist unbedingt mit dem ersten n aus der Def.Menge zu überprüfen. Und übrigens, hinsichtlich meines Alters ist keinerlei Vorsicht geboten, sebstverständlich könnt ihr alle DU (und dies ohne HERR) sagen! Thx & Gr mYthos |
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24.10.2004, 01:37 | cbt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@WebFritzi: Wenn es super ist, warum nennst du mich saugeil?? Saugeil heißt: geil wie eine Sau, oder?? Ich bin doch keine Sau
Whoaaaaaaaaa, Ich bin happy happy, dass alles richtig ist Danke schön für das link zum WorkShop, du bist sooo gut und nicht gemein Nach dem Lesen über Induktion kann ich schon die 2.Aufgabe lösen. Kannst du bitte mal gucken, ob es richtig ist? 1.Schritt: zeige dass: n=1 gilt ... 2.Schritt: Induktionsvorraussetzung (IV): Es gelte für ein n=k (k>=1), dass: 3.Shritt: Beweisen, dass es auch für ein n= k+1 gilt! Also: (q.e.d.) fertig .... hihi Aber ich mag diese Beweisenmethode(Induktion) nicht, weil es den Weg zum Formel nicht zeigen kann. Ein direktes Beweisen ist besser! Ich habe noch eine Frage: Wie kann man herausgefunden dass, Wie kommt man zu das Ergebnis: Kann jemand mir zeigen, wie man das gefunden hat?? Wenn ich wäre, kann ich oberen Formel sicher nicht herausfinden :-( Vielen Dank!!! gruß, cbt |
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24.10.2004, 01:59 | cbt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Oh, ich hab vergessen zu fragen: Kann man nur mit natürliche Zahlen( N ) Induktion benutzen ??? Ich glaube: mit rational, reellen Zahlen ... kann man nicht mit Induktion beweisen, oder ..... |
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24.10.2004, 02:04 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Webfritzi is nich gemein! "Saugeil" is einfach so ein umgangssprachliches Wort wie etwa "cool". Die Induktion kann man wirklich nur für natürliche Zahlen benutzen, für reelle geht das nicht!
Das find ich an der Induktion auch nich gut. Aber manchmal kann man es doch mehr oder weniger an Beispielen herleiten und dann durch völlständige Induktion letzlich beweisen. Zu dem anderen, das geht so: Jetzt gibts wieder Formeln für die beiden Summen in den Klammern, kennst du die schon? |
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24.10.2004, 02:32 | cbt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@WebFritzi: Oh, Entschuldgiung WebFritzi. I'm very very sorry ... Du bist der Erste, der meinen Ausdruck "super" sagt (Ich habe nur 4- in meiner 1. deutsch Klausur, das ist so schlimm ) Ihr seid auch saugeil, WebFritzi und MSS @MSS: Ich kenne den Formel: Und ich habe in Tafelwerk Formel für den 2.Teil gefunden: Aber wie kommt man auf das Ergebnis: . Wer hat diesen Formel heraugefunden?? Er ist sicher super !!! Gibt es eine allgemeine Formel für: Vielen Dank!!! gruß, cbt |
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24.10.2004, 03:35 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Also eine allgemeine Formel für das ganz unten gibt es zwar, die is aber sehr kompliziert. Hier is sie mal, du wirst sie ohne Kenntnis des Summenzeichens nicht verstehen und auch die bernoullischen Zahlen sind noch so ne andere Sache ... Aber man kann für jedes n eine Summenformel finden! Aber schon für n=5 wird das sehr aufwändig! Eine Herleitung dafür gibts auch, hier ist sie mal gezeigt worden. Allerdings brauchst du da das Summenzeichen, kennst du das schon? Und das andere geht dann so: Den Rest kriegst du hier selbst hin oder? |
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24.10.2004, 06:16 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
LOL... Ich fand es einfach nur so lustig, wie du mYthos angeredet hast. Das war so förmlich und ein gutes deutsch. Weißt du... Man merkt schon, dass du Fehler machst und nicht _perfekt_ deutsch kannst. Aber der Teil mit mYthos war (so weit ich mich erinnere) astreines deutsch und sehr elegant. Das war einfach lustig. Deswegen schrieb ich "saugeil", was soviel wie "cool", "besonders lustig" oder so bedeutet (wie MSS schon schrieb). Darf ich fragen, woher du kommst? P.S.: Du hast vergessen, dass mYthos auch saugeil ist. |
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24.10.2004, 08:17 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Und für diese Vorgehensweise liefere ich gleich ein Beispiel, das ich bei der MatheBoard-Konkurrenz gefunden habe. Man zeige die Konvergenz und berechne den Grenzwert der Folgen , die durch rekursiv gegeben sind. Ich habe es jedenfalls so gemacht: Erst ein bißchen probieren, die Formel erraten, dann durch Induktion beweisen. Aber es mag auch anders gehen. Wer hat Lust, sich an der hübschen Aufgabe mit dem verblüffenden Ergebnis zu versuchen? |
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25.10.2004, 01:51 | Calahan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Für die Induktion zum Beweis der folgenden Behauptung benötigt man nur Potenzgesetze. Ich führe sie deshalb nicht explizit aus. Die Limites sind dann offensichtlich. Für alle gilt: , |
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25.10.2004, 08:56 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@Leopold Die explizite Formel war ja nich so schwer und damit hat man ja dann auch schon sofort nen Grenzwert gefunden. "Man zeige die Konvergenz" Da reicht es dann doch eigentlich, wenn man die explizite Formel hat und n gegen unendlich laufen lässt, was einen Grenzwert ergibt, womit die beiden Folgen zwangsläufig konvergent sind oder bist du da extra nochmal mit oder einem anderen Kriterium ran? edit: Oh, Calahan hat ja schon die Lösung gepostet Lass doch die anderen auch mal überlegen! edit2: @Leopold und Webfritzi Habt ihr auch das Gefühl, dass in diesem Thread die Zeiten des Abschickens der Posts sich ein wenig sehr stark verändert haben oder hab ich jetzt was falsches im Gedächtnis?? |
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25.10.2004, 14:12 | Calahan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hab doch niemanden davon abgehalten. Auf jeden Fall gibt's hier auch noch was zu rechnen... |
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25.10.2004, 14:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@ Calahan Die Formel stimmt sogar für n=0. In der Tat ist der Induktionsbeweis reine Fleißarbeit. Mir gefällt die Aufgabe, weil sie zeigt, wie man durch fortwährendes Quadratwurzelziehen, wenn auch erst in infinitum, eine dritte Wurzel erhält. Einfach hübsch! @ MSS Ein Konvergenzbeweis ist nicht erforderlich, wenn man die explizite Darstellung hat. Aber in der Formulierung der Aufgabe mußte ich dies anbringen, da ja ohne Kenntnis der expliziten Formel die Konvergenz keineswegs auf der Hand liegt. Aber man kann die Konvergenz sicher auch mit einer Art Einschließungskriterium beweisen. Schließlich werden bei der rekursiven Definition ja fortwährend geometrische Mittel gebildet. |
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25.10.2004, 14:50 | Calahan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@Leopold Da stimme ich Dir zu! Ich hätte hier eine auf den 1. Blick ganz ähnliche Aufgabe: Dabei argumentiert man hier ziemlich leicht mit Beschränktheit und Monotonie. Den expliziten Grenzwert hab ich allerdings nicht berechnet... |
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25.10.2004, 14:54 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Es gibt auch ein äußerst effektives Berechnungsverfahren für , das mit dem Hin und Her zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel spielt (Borwein). |
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25.10.2004, 19:30 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Die steht auch im Heuser, er nennt den Grenzwert das arithmetisch-geometrische Mittel der Zahlen a und b. Ich werd mich da auch mal ransetzen ... @Leopold Wie funktioniert das konkret mit ? |
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27.10.2004, 19:32 | cbt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ja, das kann ich machen :-)
Ist Summenzeichen dieses Zeichen: wenn ja ist, ich kenne einbisschen darüber. Über deine Herleitung verstehe ich einige Stelle nicht. Ich frage in deinem Topic noch. Hoffe, Ich störe euch nicht (wegen meiner dummen Fragen) :-(
Die Aufgabe von Lepold verstehe ich nicht und ich weiß auch nicht, was konvergenz und grenzwert sind :-( @WebFritzi:
Oh ja, alle sind saugeil. Ich finde, die Leute hier sehr nett sind. Ich lerne sehr viel von euch. Nicht nur Mathematik sondern auch die Spache. ( Jetzt kenne ich neue Wort: "saugeil" hi hi ... Das ist so interessant ) Ich bedanke mich Thank you very much
I come from ... my home Mein Geheimnis hi hi ... Thank to all !!!! |
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28.10.2004, 21:32 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ja, das ist das Summenzeichen. Nervst oder störst uns nicht! Wir machen das ja alles freiwillig. Wenn wir uns genervt fühlen würden, dann würden wir auch nich helfen ...
Brauchst du (noch) nicht verstehen. Wenn du nicht mal Grenzwert oder Konvergenz kennst, dann lass die Aufgabe sein. Auch wenn du Grenzwert kennen würdest, die Aufgabe is nich die einfachste |
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