Ableitung ln-Funktion

ln leitet man folgendermaßen ab:

f(x) = ln(x² - 4)
f'(x) = ln verschwindet ...Bruchstrich machen - im Zähler steht die abgeleitete Klammer - im Nenner die abgeschriebene Klammer

daher:

f'(x) = (2x)/(x² - 4)

Und jetzt überprüfen:

1. steht x im Nenner?
2. steht x im Zähler?

wenn ja - umformen... bei 1) x in den Zähler bringen
bei 2) Wurzel als gebrochene Hochzahl umschreiben

3. steht x mal x? dann: Produktregel
4. steht x in einer Klammer und die Klammer hat eine Hochzahl? dann: Kettenregel
5. steht x/x ...dann: Quotientenregel

in unserem Fall steht x/x --> daher: Quotientenregel

Aber bevor du überhaupt anfängst, eine Kurvendiskussion mit ln zu machen, musst Definitionsmenge machen, weil unterm ln ein x steht und es gibt keinen ln von einer Minuszahl und von 0. Und da es sein könnte, dass du mal auf die Idee kommst, für x etwas einzusetzen, sodass 0 oder eine Minuszahl rauskommt, musst du bekannt geben, was man nicht einsetzen darf für x, sodass 0 oder - herauskommt.

dazu nimmst den Ausdruck her, der unter ln steht und sagst:

x² - 4 > 0 (weil dann wird garantiert, dass der Ausdruck eine +Zahl wird)
(x - 2) * (x + 2) > 0

und dann Fallunterscheidung machen:

wann ergibt eine Multiplikation eine Pluszahl?
1. Fall:
wenn + mal +
daher:
x - 2 > 0 und x+2 >0
x > 2 und x > - 2
L1= { x € R | x > 2} (das ist die Durchschnittsmenge)

2. Fall:
wenn - mal -
daher:
x - 2< 0 und x + 2 < 0
x< 2 und x < - 2
L2 = { x € R| x < - 2} (ebenfalls Durchschnittsmenge)

L(gesamt) = L1 und L2

L(gesamt) = {x € R | x > 2 und x < - 2}

Das heißt..du darfst für x bloß keine Werte zwischen 2 und - 2 einsetzen, denn sonst würde unter ln 0 oder eine Minuszahl stehen.
Das kann man leicht mit einer Probe überprüfen:

wenn x = 1 (eigentlich nicht erlaubt)
f(1) = ln (1 - 4)
f(1) = ln (-3) --> darf nicht passieren

wenn x = 3 (laut Definitionsmenge erlaubt)
f(3) = ln ( 9 - 4)
f(3) = ln5 --> ist definiert und lässt sich errechnen.

d.h. falls du mal bei den Nullstellen oder bei den Extremwerten oder bei den Wendepunkten für x eine Zahl raus kriegst, die zwischen - 2 und 2 liegt, dann ist das kein Ergebnis! Ebenso darfst du die Kurve im Bereich - 2 bis +2 NICHT zeichnen...weils in diesem Bereich keine Punkte gibt.

Weiß, hab ein bisserl mehr erklärt, als du eigentlich wissen wolltest, aber vielleicht hilfts dir ja...

lg kiki

27.05.2006, 17:52

André2006

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Eine Frage: Gilt die Regel "f'(x) = ln verschwindet ...Bruchstrich machen - im Zähler steht die abgeleitete Klammer - im Nenner die abgeschriebene Klammer" von "kikira" immer????

27.05.2006, 18:11

mercany

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Was kikira da gesagt hat, ist einfach nur das Prinzip der Kettenregel.

Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x) = \ln x^3 \end{eqnarray*}$

Du hast hier eine verkettete Funktion vorliegen mit $\begin{eqnarray*} g(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ als innere Funktion und $\begin{eqnarray*} h(x) = \ln x \end{eqnarray*}$ als äußere Funktion.

Also hast du $\begin{eqnarray*} f(x) = h(g(x)) \end{eqnarray*}$

Kettenregel besagt: Innere Ableitung mal Äußere Ableitung.

$\begin{eqnarray*} g(x)' = 3x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Daher $\begin{eqnarray*} f(x)' = h'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{x^3} \cdot 3x^2 = \frac{3}{x} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

27.05.2006, 19:00

André2006

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kann mir bitte jemand sagen ob folgende lösungen korreckt sind und falls nicht die richtige lösung hinschreiben?:

1.) f(x) = ln(x^-2)
f ' (x) = -2x³

2.) f(x) = ln (wurzel x)
f'(X)= wurzel x / 2*wurzel x = 1/2

3.) f(x) = (ln(x))^-2
f'(x)= 1/ 2x²

4.) f(x) = (1 + 3x²)
f'(X) = 6x / 1+3x

5.) f(x) = 3 * ln(wurzel 4x)
f'(x) = 6*wurzel x / wurzel x

6.) f(x) = ln (x / 1+x)
f'(x) = 1+x / x³+2x²+x

und eine frage konnte ich nicht:

7.) f(x) = ln (3.wurzel x)
f'(x) =??????

ich hoffe jemand hat zeit mir dabei zu helfen...

danke schonmal...

27.05.2006, 19:56

speedyschmidt

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1.)falsch, $\begin{eqnarray*} x^2*(-2x^{-3}) \end{eqnarray*}$ und kürzen
alternativ kannst du vor dem differenzieren auch $\begin{eqnarray*} ln(a^x)=x*ln(a) \end{eqnarray*}$ anwenden
2.)falsch überprüfe mal die äußere ableitung
3.) falsch, Kettenregel
4)richtig, wenn du klammern setzen würdest, wenn du das "hoch2" nicht weglassen würdest und die originalfunktion ein ln beinhalten würde
5) falsch, KETTENREGEL
6) falsch innere ableitung verkorkst
7) $\begin{eqnarray*} ln(a^x)=x*ln(a) \end{eqnarray*}$ anwenden

28.05.2006, 10:50

André2006

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könntest du mir das am beispiel 1 erklären? ich hab den fehler da gesehn, aber wenn ich das jetzt nach der kettenregel mache, kommt trotzdem was anderes raus:

f(x) = ln(x^-2)
"f'(x) = ln verschwindet ...Bruchstrich machen - im Zähler steht die abgeleitete Klammer - im Nenner die abgeschriebene Klammer"
also:

f'(x)= -2x^-3 / x^-2, wenn man das jetzt kürtzt bin ich mir nicht sicher, aber müsste doch = -2x^-5 raus kommen...

oh man, ich schreib montag mathe und kann genau das nicht...

28.05.2006, 13:39

speedyschmidt

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Du hast da $\begin{eqnarray*} \frac{x^{-3}}{x^{-2}} \end{eqnarray*}$ zu stehen.

Laut Potenzgesetzen gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{a^b}{a^c}=a^{b-c} \end{eqnarray*}$

In deinen Fall also $\begin{eqnarray*} \frac{x^{-3}}{x^{-2}}=x^{(-3)-(-2)}=x^{-1} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 14:58

André2006

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yo, stimmt...das ist mein fehler Big Laugh

, ok, was ist nun mit aufgabe 2:

f(x) = $\begin{eqnarray*} ln\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

müsste doch eigentlich richtig sein:

f(x) = $\begin{eqnarray*} 1/2*\sqrt{x}/\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

oder kannst du mir bitte auch das erklären?? unglücklich

28.05.2006, 15:03

marci_

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x} }*\frac{1}{2} *x^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x} }*\frac{1}{2} *x^{\frac{-1}{2} }=\frac{1}{2}* \frac{1}{\sqrt{x} }*\frac{1}{\sqrt{x} }= \frac{1}{2}*\frac{1}{x}=\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 15:07

André2006

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yo, habich jetzt auch so, hehe

28.05.2006, 15:17

André2006

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aber was issn hiermit:

f(x) = $\begin{eqnarray*} 3*ln\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$

f ' (x) = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2x} \end{eqnarray*}$

richtig?

28.05.2006, 15:23

marci_

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nein...beachte die kettenregel!!!
und bitte poste deinen ganzen rechenweg...danke=)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} = (4x)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 15:41

André2006

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aso, ich habs anders gemacht:

ist das hier ein wurzelgesetz: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} * \sqrt{b} = \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ ???

wenn ja, dann müsste das doch richtig sein, weil:

f (x) = $\begin{eqnarray*} 3* ln(\sqrt{4x}) = 3* ln(\sqrt{4} * \sqrt{x}) = 3* ln (\sqrt{4}) * ln ( \sqrt{x}) ; f '(x)= 3* \frac{1}{2x} = \frac{3}{2x} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 15:49

André2006

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ne, ist falsch, habs selbst schon gesehn...ist es dann richtig so:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln( 4x)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}* ln(4x); f'(x) = \frac{1}{2} * \frac{4}{4x} = \frac{4}{6x} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 16:32

marci_

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also ich komme da auf $\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

überprüfe nochmals deine rechnung...

28.05.2006, 16:33

André2006

Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich hab da noch eine letzte funktion die ich nicht ableiten kann:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (ln(x))^{-2} ; f'(x) = ??? \end{eqnarray*}$

weil ich kann ja dabei nciht einfach f (x) = -2 * ln(x) machen ne?

28.05.2006, 16:36

André2006

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, du hast recht, hab mich mit 4*2 vertan, hab = 6 hingeschrieben, ist aber 8, also $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{4}{8x} = \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ richtig...

28.05.2006, 16:40

marci_

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Zitat:

Original von André2006
aber ich hab da noch eine letzte funktion die ich nicht ableiten kann:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (ln(x))^{-2} ; f'(x) = ??? \end{eqnarray*}$

verwende hierbei die kettenregel...

$\begin{eqnarray*} f(x)= (x+1)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= (-1) *(x+1)^{-2} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 16:50

André2006

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hä? das check ich mal garnicht, wie kommst du denn von

$\begin{eqnarray*} f(x) = (ln(x))^{-2} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x+1)^{-1} \end{eqnarray*}$

28.05.2006, 16:53

marci_

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das sollte nur ein beispiel sein
mache es bei deiner funktion ebenso=)

28.05.2006, 17:07

André2006

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also ich versteh das jetzt so:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (ln(x))^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{x} * x^{-2} * -2x^{-3} = \frac{x^{-2} * -2x^{-3}}{x} = x^{-2-1} * -2x^{-3} = -2x^{-6} \end{eqnarray*}$

wahrscheinlich falsch, ne?

28.05.2006, 17:09

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist leider falsch...
kennst du denn die kettenregel?

28.05.2006, 17:11

André2006

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber irgendwie kann ich sie nicht darauf anwenden...kannst du mir vielleicht den weg nach der kettenregel bei der aufgabe schreiben?

28.05.2006, 17:13

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x) = (ln(x))^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(-2)*(ln(x))^{-3} * \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

ist es dir nun klar?

lass dich von dem ln(x) nicht stören!!!

28.05.2006, 17:18

André2006

Auf diesen Beitrag antworten »

ne, versteh ich nicht so ganz.

die kettenregel ist doch: g'(h(x)) * h'(x)

$\begin{eqnarray*} g(x) = x^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x) = ln(x) \end{eqnarray*}$

oder nicht?

28.05.2006, 17:20

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)= (x+1)^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= (-2) *(x+1)^{-3} \end{eqnarray*}$

ist dir das klar?

28.05.2006, 17:23

André2006

Auf diesen Beitrag antworten »

um ehrlich zu sein, nein

28.05.2006, 17:27

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

also das ist die kettenregel angewandt...

such mal im board oder schau hier

28.05.2006, 17:37

André2006

Auf diesen Beitrag antworten »

yo, habs verstanden, endlich...danke sehr Freude

28.05.2006, 17:38

marci_

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gut, freut mich=)

28.05.2006, 19:02

André2006

Auf diesen Beitrag antworten »

boa, jetzt hab ich ein problem...und zwar

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{3} ; f'(x) = 3x^{-1} \end{eqnarray*}$ nach der kettenregel

wir haben uns aber jetz im unterricht aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} ln(u^{k}) = k * ln(u) \end{eqnarray*}$

danach wäre es dann aber ein anderes ergebnis, und zwar $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x} \end{eqnarray*}$

kann mir jemand sagen wo der fehler ist?

28.05.2006, 19:03

Dual Space

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... gelöscht

Zitat:

Original von André2006
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{3} ; f'(x) = 3x^{-1} \end{eqnarray*}$ nach der kettenregel

Sicher nur ein Schreibfehler, aber so ist das falsch! Augenzwinkern

28.05.2006, 19:06

André2006

Auf diesen Beitrag antworten »

was müsste denn nach der kettenregel rauskommen, $\begin{eqnarray*} 3x^{4} \end{eqnarray*}$ ne?

28.05.2006, 19:07

Dual Space

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Zitat:

Original von André2006
was müsste denn nach der kettenregel rauskommen, $\begin{eqnarray*} 3x^{4} \end{eqnarray*}$ ne?

Bitte nicht raten!

Btw: Wozu willst du die Kettenregel bemühen?

28.05.2006, 19:09

André2006

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keine ahnung...ich bin total verwirrt mit dem ganzen thema...was müsste denn als ableitung von x³ rauskommen, könntest du mir das sagen und auch welche regel du anwendest?

28.05.2006, 19:12

Dual Space

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Ich wende diese Regel an:

$\begin{eqnarray*} (x^\alpha)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1} \end{eqnarray*}$

PS: In deinem Fall ist übrigens $\begin{eqnarray*} \alpha=3 \end{eqnarray*}$ .

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