Differentialgleichungen

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newid Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen
Hallo!

Ich habe folgendes Problem: (Textaufgabe)

Gegeben sei ein Dorf mit 620 Einwohnern. Plötzlich bricht eine Grippeepidemie aus. Anfangs sind 20 Personen betroffen, nach 10 Tagen 120 Personen. Die Frage die sich stellt, wieviel sind nach 15 Tagen an der Grippe erkrankt.
(Anm.: Die Zunahme der Erkrankten verhält sich nach exponentiellen Wachstum.)

Wie kann ich diese Aufgabe mittels lineare Differentialgleichung (1. oder 2. Grades) lösen?

lg
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen
Du musst in die Formel einsetzen für exponentielles Wachstum:

F(t) = F(0) * e^(k *t)

und die bedeutet:

Endprodukt = Ausgangsprodukt mal e ^ ( Wachstumsfaktor mal Zeit)

Alles einsetzen, was du kennst und k berechnen.
Dann das Wachstumsgesetz aufstellen für die Epidemie ( dazu brauchst nur das k in die Formel einsetzen)

und dann setzt du die 15 Tage ein und dass dein Anfangsprodukt sozusagen die 20 kranken Leute ist...und das Endprodukt ist dann, wieviele nach 15 Tagen krank sind.

lg
kiki
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen
20* ((120/20)^1/10)^15 = 20* 6^(15/10) =20* 6^(3/2) =

=20* sqrt(6^3) = ...

soviele sinds nach 15 Tagen
.


Edit:
das wäre bei normalem exponentiellen Wachstum, was hier aber
nicht zuzutreffen scheint ...
newid Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte einen anderen Ansatz versucht:

F(t+1)=F(t)+k*F(t)*(S-F(t))

Wobei F(t) für den aktuellen Funktionswert steht, S ist die Schranke - also die 620 Personen. Zuerst gilt es natürlich die Wachstumskonstante k auszurechen.

Hierfür verwende ich folgenden Ansatz:

120=20+k*20*(620-20) => k=(120-20)/(20*600)

... danach habe ich die Wachstumskonstante und kann mir das ganze nach 20 Tagen ausrechen. Nachdem das arithmetische Mittel von 10 und 20 Tagen 15 Tage sind, schließe ich daraus, dass auch das Ergebnis dem arithmetischen Mittel entspricht, also 310 Personen.

So das war die Lösung mit dem Hausverstand, aber wie soll ich das in eine Differentialgleichung packen?

Ich habe folgende Lösungsmöglichkeiten zur Auswahl:

a) 208
b) 243
c) 180
d) 279
e) 310

lg
newid
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... oh, das mit den 620 Personen hab ich ganz überlesen
bleibt die Frage was für eine Art Prozess so ne Infektionssache ist.

Zur Auswahl gibts aber nichts, entweder ist dies richtig oder das
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Der Ansatz der Differentialgleichung beruht auf der Annahme, dass die Zuwachsrate (relativer Zuwachs = Anstieg) proportional zur jeweils vorhandenen Menge der Erkrankten ist. Viele Szenarien aus der Natur werden hiedurch verhältnismäßig genau abgebildet, aber eben nicht alle, bzw. nur dann, solange das Wachstum ungehemmt - also frei von weiteren äußeren Einflüssen - erfolgt. Die Lebensbedingungen wären in diesem Falle ideal, was aber von der Wirklichkeit abweicht. Das weitere Wachstum wird letztendlich durch die Sättigung eingeschränkt (wenn alle 620 Personen erkrankt sind, können die Bakterien niemanden mehr infizieren). Bei diesen Sachverhalten wird dann das Modell des logistischen Wachstums verwendet.

Die Funktion sei y = f(x)

y .. Menge der Erkrankten
x .. Zeit in Tagen

Die Zuwachsrate (relativer Zuwachs = Anstieg) ist die 1. Ableitung, diese ist proportional zur jeweils vorhandenen Menge, dadurch wird eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung generiert:

y' = k*y

Auflösung mittels Trennung der Variablen ...



.... integr.

.... entlog.





ist die Anfangsmenge, k (> 0) heisst Wachstumskonstante, x ist die Zeit in Tagen.

Gr
mYthos
newid Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Überlegung!

Bei dieser Methode kommt aber 293,939 heraus. Was noch fraglich ist, wie kann man die Grenze von 620 einfließen lassen? Was macht man mit der Angabe, dass nach 10 Tagen 120 Personen erkrankt sind?

lg
newid
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. eine exponentielle Wachstumsfunktion, wie gesagt, als Lösung der gegenständlichen Differentialgleichung.

Die Grenzen des math. Modells sind dort gegeben, wo die mittels eines eventuell unzureichend konzipierten math. Modells errechneten Werte in Wirklichkeit nicht zutreffen. Denn das natürliche Wachstum ist von verschiedenen Einflüssen (Lebensbedingungen, Grenzpopulation infolge Sättigung, Platzmangel, Wetter, usw.) abhängig, die nicht alle in der mathematischen Gleichung berücksichtigt werden können. Aus diesem Grund kann der tatsächlich erreichte Zustand langfristig erheblich von der mathematisch errechneten Vohersage abweichen.

Daher muss das Modell natürlich möglichst genau an die realen Verhältnisse angepasst und u. U. auch mit mehreren Variablen gearbeitet werden.

Wachstumsprognosen sind eine Wissenschaft für sich und die solche beschreibenden math. Modelle enthalten wesentlich komplexere Funktionen und Variablen als die einfache Beziehung in unserer Aufgabe.

Wir können Wachstumsprozesse in einer ersten Einteilung als exponentiell, beschränkt oder logistisch bezeichnen.

Dazu sind unter

http://sites.inka.de/picasso/Rutsch/expo...#Exponentielles

noch sehr interessante Einzelheiten zu lesen!

Gr
mYthos
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

@mythos:

Ui...ja, das hab ich auch nicht bedacht. Ist das im Endeffekt nicht dasselbe, wie wenn ich die Exponentialgleichung differenziere?

F'(t) = k * t * F(0) * F(t)
?

lg kiki
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikira
@mythos:

.......
Ist das im Endeffekt nicht dasselbe, wie wenn ich die Exponentialgleichung differenziere?

F'(t) = k * t * F(0) * F(t)
?

lg kiki


Wenn du die Exponentialfunktion differenzierst, musst du selbstverständlich wiederum zu F '(t) = k*F(t) kommen, das ist ja klar.
Es soll aber nicht von vornherein eingeschränkt werden, wie die Wachstumsfunktion genau aussehen soll. Daher muss man von der Differentialgleichung ausgehen, weil ja nur dort die Ausgangsbedingung: "Der Zuwachs ist proportional zur Menge" erfassbar ist.

@newid

Zitat:
Original von newid

...
Bei dieser Methode kommt aber 293,939 heraus. Was noch fraglich ist, wie kann man die Grenze von 620 einfließen lassen? Was macht man mit der Angabe, dass nach 10 Tagen 120 Personen erkrankt sind?
...


Das Wertepaar 10 Tage / 120 Personen dient zur Ermittlung der in der Funktion verwendeten Konstanten.

Spätestens bei der Angabe der 620 Personen jedoch wird klar, dass unser ursprüngliches Modell offensichtlich nicht dafür geeignet ist, denn dieses gilt nur für unbegrenztes Wachstum, und wir haben aber keinerlei Begrenzung "eingebaut".

Unter der Annahme, dass das Wachstum der Epidemie dennoch unbegrenzt vonstatten geht, können wir höchstens berechnen, wann alle 620 Personen erkrankt sein werden.

Natürlich könnten wir auch versuchen, die im Link in meiner vorigen Antwort angeführten anderen Wachstumsprozesse ins Auge zu fassen.

Gr
mYthos
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

versteh..außerdem hab ich da einen Fehler...das t gehört bei der Ableitung nicht hin...

danke
kiki
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

JA, das habe ich zwar gesehen, wollte aber net so kleinlich sein .... Augenzwinkern
newid Auf diesen Beitrag antworten »

Okay! Das Mit dem Ansatz als lineare homogene Differentialgleichung ersten Grades gefällt mir, nur irgendwie komme ich damit auf keinen grünen Zweig und deshalb möchte ich versuchen meine Frage neu zu formulieren.

Kann man das exponentielle Wachstum nun mit der Formel

f(x+1)=f(x)+k*f(x)*(S-f(x)) berechnen, wenn man

sagt, dass:
- S die Schranke ist - 620 Personen,
- k die unbekannte Wachstumskonstante,
- f(x) der aktuelle Wert und
- f(x+1) der neue Wert sein soll?

Start:

120=20+k*20*(620-20) => k=(120-20)/(20*(620-20)=1/120

natürlich hat man hier eine Wachstumskonstante mit einem Schritt von 10 Tagen errrechnet, daher kann man eigentlich mit diesem Ansatz den nächsten Wert, also nach 20 Tagen, errechnen. Hieraus erfährt man, dass schnellstens ein Arzt kommen sollte und Medikamente einsetzen sollte, denn nach 20 Tagen ist das ganze Dorf krank, also 620 Personen.
Nachdem die Fragestellung einen Wert bei 15 Tagen erwartet bilde ich das arithmetische Mittel des Wertes, wo man feststellt, dass 310 Personen erkrankten.
Mir ist bewusst, dass ich das Beispiel auf die gewünschte Lösung getrimmt habe, aber wenn man bei einem Test nun mal diese Antwortmöglichkeiten hat, ... was soll man machen.

So nun meine Frage, könnte das stimmen?

lg newid
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

mit der Formel des logistischen Wachstums von oben,
F(t+1)=F(t)+k*F(t)*(S-F(t))

ermittle ich den Krankenstand nach 15 Tagen zu

K(00) = 20
K(05) = 49.73
K(10) = 120.00
K(15) = 268.66 Personen
K(20) = 502.52
K(25) = 648.79
K(30) = 602.50

k =.002477666

etwas merkwürdig das Resultat, oder ist das k etwa veränderlich
über die laufende Zeit ??

hätte jetzt gedacht, diese Formel sei so arrangiert, dass das
Maximum von 620 nicht überschritten werden kann ...

oder liegts am unpassenden Intervall ??
newid Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe folgendermaßen weitergerechnet:

f(20)=f(10)+k*f(10)*(S-f(120)), also

f(20)=120+(1/120)*120*(620-120)=120+1*500=620

da der Schritt von 10 auf 20 Tagen genau meinen gewünschten Tag 15 beinhaltet und diese Tage relativ gesehen 10 Tage voneinander liegen, habe ich mit dem Ergebnis das selbe gemacht und halbiert, also f(15)=f(20)/2=310

lg
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

das mit der Halbiererei ist 'Unsinn', so gehts bestimmt nicht,
da musst schon etwas tiefer in die Trickkiste greifen, denke ich,
oder kannst das mit der 'Formel' gleich sein lassen.
.


da hab ich mich etwas mehr angestrengt ...
newid Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm!

Das wäre zu schön gewesen, aber ich suche noch immer angestrengt nach einer Lösung! verwirrt
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

das ungebremste exponent. Wachstum von oben liefert ja nur

=20* sqrt(6^3) = 293.94

das darf bestimmt nicht überschritten werden ...

310 fällt damit ganz sicher raus wenn's 'genauer' gerechnet wird


wenn das k konstant wäre und sich bei mir kein Rechenfehler
eingeschlichen hat, dann wäre das von mir richtig, vermute aber
anhand der schon gerechneten Beispiele dass das NICHT stimmen
kann und die Fehlleistung mit der Größe des Intervalls auf
das sich das k bezieht zusammenhängt.

bzw das nur 'stimmt' und brauchbar passt je kleiner das Intervall
ist, am besten eben nahezu Null und damit dürften man auch
wieder bei der DGL sein.


Mit anderen Worten mit dieser Formel gehts nicht gescheit . Augenzwinkern
.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Die Anregung, doch mal noch andere Wachstumsprozesse ins Auge zu fassen, habt ihr leider nicht weiterverfolgt?

Nehmen wir den logistischen Wachstumsprozess! Wie er aussieht und die Differentialgleichung dazu findet man bei

http://sites.inka.de/picasso/Notheis/Herleitung.htm



wobei G = 620 ist, ein Grenzwert, der in endlicher Zeit nicht erreicht wird (es können keinesfalls mehr als 620 Personen erkranken).

Wir setzen G = 620 ein und für f(0) = 20, daraus








Nun berechnen wir k mittels f(10) = 120







Die gesuchte Wachstumsfunktion lautet nun






Mit t = 15 berechnen wir die gesuchte Zahl f(15) der Erkrankungen nach 15 Tagen:





Also trifft bei der Auswahl der Lösungen der Fall b) zu.

Gr
mYthos
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Gut dass das geklärt ist, jetzt weiß ich wenigstens dass mit
der anderen Formel nicht viel anzufangen ist, außer in der näheren
Umgebung mal einen Schritt weiterzurechnen, sofern sich ein k für
ein entsprechend kleines Intervall ermitteln lässt ...
.
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