Newtonsches Verfahren

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WK Auf diesen Beitrag antworten »
Newtonsches Verfahren
hey Leute!

Ich habe in dem netten Lexikon nachgeschaut und so ne nette Formel gefunden... jetzt habe ich allerdings das Problem, dass ich über das Thema ein Referat halten soll!
Und dazu müsste ich wissen, woher diese Gleichung kommt...


x-(f(x))^(-1)*f(x)=x-(f'(x))^(-1)*0=x

Ich fänds extrem cool, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal, was zu diesem Thema hier im Board schon geschrieben wurde:

U.a.
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1548

Das Verfahren funktioniert so, dass in einem Punkt der Funktion in der Nähe der Nullstelle die Tangente gelegt und mit der x-Achse geschnitten wird. Der x-Wert des Schnittpunktes ist (mit etwas Glück) ein erster Näherungswert x1, welcher eben näher an der Nullstelle liegen sollte. In einem Kurvenpunkt mit diesem x-Wert x1 wird wieder die Tangente gelegt und dieses Verfahren somit wiederholt (dies nennt man eine Iteration). Solange, bis man die Nullstelle mit hinreichender Genauigkeit ermittelt hat.

An einem Beispiel:

Näherungsweises Lösen von Gleichungen

Berechne die Lösungen der Gleichung

über der Grundmenge R

Du legst zunächst eine kleine Wertetabelle der Funktionsgleichung
an. Die Nullstellen dieser Funktion sind identisch mit den Lösungen der Gleichung f(x) = 0



x: ... f(x): .. f'(x)
------ ---------------
-4 ... -31 .... 40
-3 .... -2 .... 19
-2 .... 9 ..... 4
-1 .... 8 .... -5
0 .... 1 .... -8
1 ... -6 .... -5
2 ... -7 ..... 4
3 ... 4 .... 19
4 ... 33 .... 40

Zwischen jenen zwei x-Werten, in denen bei f(x) ein Vorzeichenwechsel stattfindet, liegen die Nullstellen, d.h. die gesuchten Lösungen. Das ist hier zwischen -3 und -2, 0 und 1 und 2 und 3 der Fall.

Als Startwert für das Newton'sche Näherungsverfahren nimmst du jeweils den x-Wert mit dem absolut kleineren f(x), weil dieser näher bei der Lösung liegt, also jeweils einmal -3, 0 und 3.

Führen wir das mal bei 3 durch, die anderen Lösungen erhalten wir analog.



x_n ................. f(x_n) .. f '(x_n) ... f(x_n)/f '(x_n) .. x_(n+1)
---------------------------------------------------------------------------------------------
.. 3 .................... 4 ........ 19 ........ 0,210526316 .. 2,78947368
2,78947 ....... 0,38956 .. 15,34349 .. 0,025389344 .. 2,76408434
2,76408 ....... 0,00538 .. 14,92049 .. 0,000360449 .. 2,76372389
2,76372 ....... 0,000001 . 14,91451 .. 0,000000072 .. 2,76372381
2,76372 ..

Die Abbruchbedingung der Iteration ist erreicht, wenn das Korrekturglied (der Quotient unter einem bestimmten Wert bleibt, d.h. die Näherungswerte sich bis zu einer vorgegebenen Dezimalstelle nicht mehr unterscheiden.

x1 = 2,76372
desgleichen lauten die beiden anderen Lösungen:
x2 = 0,125246
x3 = -2,88897
°°°°°°°°°°°°°°

Bei Interesse kann ich dann dazu auch eine Excel - Tabelle zur Verfügung stellen, die die Rechenarbeit automatisch erledigt und auch einen Graphen generiert.

Gr
mYthos
WK Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja alles ganz nett, aber eigentlich wollte ich nur wissen, wie diese nette Gleichung begründet ist, das heißt: wo kommt sie her? verwirrt verwirrt verwirrt unglücklich
Den Rest hab ich eigentlich verstanden... Wink ???
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Um deine Gleichung mal leserlich zu machen:



Dazu kann ich auch gleich sagen: diese Gleichung ist Blödsinn. smile
WK Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! sehr freundlich, aber das hilft zumindest mir sehr wenig.... verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hilfst dir selbst auch sehr wenig, wenn du auf den doch recht aufwendigen Beitrag von Mythos nichtmal ein "Dankeschön" abgibst...
 
 
WK Auf diesen Beitrag antworten »

Und du scheinst wohl gerne Leute zu kritisieren, die übrigens bis zu deiner Ankunft noch total gut drauf waren, oder wie ??
Zitat:
Das ist ja alles ganz nett


Und außerdem fand ich das zumindest nicht unfreundlich!
geschockt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den WebFritzi einmal näher kennenlernst, merkst du, daß er eigentlich ganz nett ist. Er spielt nur gerne das Ekel ... Augenzwinkern
WK Auf diesen Beitrag antworten »

Na so sieht der aber auch aus.... verwirrt


Willkommen Webfritzi Willkommen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

LOL. Das war wiederum sehr nett von dir ausgedrückt, Leopold.

Zu dir, WK: "Das ist ja alles ganz nett" bedeutet für viele: "Das war für'n Arsch!" Und das wolltest du sicher auch damit ausdrücken. Trotzdem hat der mYthos ein Danke verdient - auch, wenn es dir nicht viel weitergeholfen hat. Er hat dir seine Hilfe angeboten, und das zählt. Und mal so nebenbei: Du willst hier was von uns. Also solltest du lieber nett sein...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WK
Na so sieht der aber auch aus.... ?


Ach so... Auf Talkshow-Niveau bewegst du dich. Na dann kannste meine Hilfe vergessen. Und tschüss... Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@WK

In meiner Antwort habe ich eigentlich genau beschrieben, wie die Näherungswerte errechnet werden. Wenn du dies tatsächlich verstanden hast, müsstest du eigentlich auch in der Lage sein, dieses Verfahren analytisch umzusetzen.

Kurve: ; Startwert: , Kurvenpunkt

Die Steigung dort ist , daher lautet die Gleichung der Tangente:



mit x - Achse (y = 0) schneiden:

.. nach x auflösen, wird zu





Daraus ist schon die Rekursionsformel ersichtlich:



Gr
mYthos
WK Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Danke!

Ich häng mich da noch ma rein und dann werd' ich das wohl doch irgendwann noch auf die Reihe kriegen! Gott
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