vollständige Induktion

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24.10.2004, 11:50	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion Hallo Leute, auch ich habe ein problem mit der vollständigen induktion in verbindung mit potenzregeln, der Ansatz ist, so glaub ich zumindest einfach gefunden, aber ich komme bei dem Induktionsbeweis nicht weiter. Also der zu beweisende Term ist: $\begin{eqnarray} 10^{n}>6n^2+n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Ich komme hierbei bis: $\begin{eqnarray} 10^{n+1}>6n^2+13n+7 \end{eqnarray}$ bin hierbei aber nicht sicher, ob der weg bis dahin richtig ist. Bitte um mithilfe und danke schonmal allen im Vorraus die sich mit meinem Problem beschftigen. Edit: LaTeX verbessert. Ben
24.10.2004, 11:53	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, das mit dem Formel editor krieg ich noch nicht hin, sorry!!! Also die Aufgabe ist einzusehen auf: http://www.math.uni-leipzig.de/~freistuehler/DI1/ueb2.pdf Es ist dort Aufgabe 7.
24.10.2004, 12:38	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal im Forum Analysis in den Workshop Vollstänidge induktion Das ist sicher noch eine einfache Aufgabe Wenn du dann noch Probs hast kannste ja nochmal nachfragen
24.10.2004, 15:01	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du fängst an, indem du einfach sofort die Induktionsvoraussetzung einsetzt: $\begin{eqnarray} 10^{n+1} > 10\cdot (6n^2 + n) = 60n^2 + 10n\;. \end{eqnarray}$ Jetzt musst du noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} 60n^2 + 10n \ge 6(n+1)^2 + (n+1) = 6n^2 + 13n + 7\;. \end{eqnarray}$ Vielleicht hilft dir folgende Rechnung: $\begin{eqnarray} 54n^2 - 3n - 7 &> 49n^2 - 14n - 8 = (7n - 1)^2 - 9 > 0\;. \end{eqnarray}$
24.10.2004, 16:46	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
vollst. Induktion Erstmal danke an euch. Die Rechnung hilft mir in sofern weiter, dass ich die Potenz 10^n bzw. 10^(n+1) gar nicht auflösen muss. @WebFritzi Ich verstehe aber nicht wieso du in der ersten zeile, den rechten Term auch mit 10 multiplizierst und dann im weiteren Verlauf nicht mehr auf 10^(n+1) achtest. Und in der letzten Zeile weiß ich net woher die (7n-1)²-9. Wenn du/ihr die zeit finden würdet mir das etwas plausibler zu erklären wäre ich echt dankbar. Thx schonma für die ersten großen zum verstehen.
24.10.2004, 16:56	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollst. Induktion Hallo Schusterjunge, in der 1. Zeile hat WebFritzi die Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray} 10^n>6n^2+n \end{eqnarray}$ angewandt, also eingesetzt. Die (7n-1)²-9 kommen durch quadratische Ergänzung zu Stande. Gruß vom Ben Edit: Bitte verwende in den LaTeX-Tags nicht ², sondern ^2, ansonsten wird die Formel nicht in allen Browsern richtig angezeigt. Ausserdem sind manuelle Zeilenumbrüche zu vermeiden.
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24.10.2004, 17:16	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
vollst. Induktion Hallo Ben, danke für die Erklärung mit dem "^2 und ²" und mit dem Zeilenumbruch, kommt nucht wieder vor. Gut ich gebs zu ich bin 'ne Matheniete. Wenn ich in $\begin{eqnarray} 10^n > 6n^2 + n \end{eqnarray}$ (n+1) einsetzte, dann komm ich auf: $\begin{eqnarray} 10^n > 10 (6n^2 + n) \end{eqnarray}$ und bei WebFritzi steht: $\begin{eqnarray} 10^n10 > 10 (6n^2 + n) \end{eqnarray*}$ wenn dann müsste ja die 10 entweder links oder rechts auftauchen, oder??? und quadratische Ergänzung???
24.10.2004, 17:33	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Au au au... Wie ich sehe, hast du die vollständige Induktion noch nicht verstanden. Wir haben eine Aussage, die bewiesen werden soll. Und zwar für alle n. Wir können es auch so sehen, dass wir für jedes n eine Aussage A(n) haben, und jede Aussage soll bewiesen werden. Bei uns ist A(n) die Aussage $\begin{eqnarray} 10^n > 6n^2 + n\;. \end{eqnarray}$ Die vollständige Induktion geht nun so: $\begin{eqnarray} \end{align}1.\quad Zeige, dass $A(1)$ wahr ist.\\2.\quad Zeige, dass $A(n+1)$ wahr ist, wenn $A(n)$ wahr ist.\begin{align} \end{eqnarray}$ Punkt 1 heißt Induktionsanfang, Punkt 2 Induktionsschluss. In 2. müssen wir also zeigen, dass $\begin{eqnarray} 10^{n+1} > 6(n+1)^2 + (n+1)\;, \end{eqnarray}$ wenn A(n) wahr ist, wenn also $\begin{eqnarray} 10^n > 6n^2 + n\;. \end{eqnarray}$ Aber wenn doch letzteres wahr ist, dann ist $\begin{eqnarray} 10^{n+1} = 10\cdot 10^n > 10\cdot (6n^2 + n)\;. \end{eqnarray}$ Klar? Die Annahme, dass A(n) wahr ist, nennt man Induktionsvoraussetzung oder Induktionsannahme.
25.10.2004, 18:16	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
vollst. Induktion Servus Das Prinzip der vollständigen induktion habe ich schon verstanden: Man überprüfe für n=1 und dann für (n+1). Mein Problem liegt jetzt in deiner letzten zeile $\begin{eqnarray} <br /> 10^{n+1} = 10 \cdot 10^n > 10 \cdot (6n^2+n)<br /> \end{eqnarray}$ und dort speziell im rechten teil der ungleichung, meine frage war wie du auf den therm $\begin{eqnarray} 10\cdot (6n^2+n) \end{eqnarray}$ kommst, wieso du diesen teil mit 10 multiplizierst und im späteren verlauf nicht mehr auf $\begin{eqnarray} 10^n \end{eqnarray}$ achtest.
25.10.2004, 22:07	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Schusterjunge ist ganz einfach.Webfritzi hat folgendes gemacht: 10^n+1 ist das gleiche wie 1010^n. Das heißt er hat nicht n+1 genommen,sondern gleich mit 10 multipliziert.Wie oben gesagt: 10^n+1=1010^n Da man das darf,kann man auf der rechten Seite nun auch auf die n+1 verzichten und direkt mit 10 multiplizieren
25.10.2004, 22:17	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Schusterjunge Ich glaube nicht, dass du die vollst. Induktion schon richtig verstanden hast! Du überprüfst es für n+1, indem du die Aussage für n da einsetzt! Sei die Aussage für n wahr, also $\begin{eqnarray} 10^n>6n^2+n \end{eqnarray}$ Multiplikation mit 10 liefert: $\begin{eqnarray} 10\cdot 10^n=10^{n+1}>10\cdot (6n^2+n) \end{eqnarray}$ Jetzt musst du noch beweisen, dass $\begin{eqnarray} 10\cdot (6n^2+n)>6(n+1)^2+n+1 \end{eqnarray}$ !
27.10.2004, 10:06	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Tachchen, Ich Danke für eure Hilfe bei meinem Problem und denke langsam verstanden habe.
27.10.2004, 13:15	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
als Zeichen kannst du ja mal deinen Restweg posten.
27.10.2004, 15:32	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
vollst. Induktion Na der Rest ist einfach: $\begin{eqnarray} 60n^2+10n > 6n^2+13n+7 \end{eqnarray}$ dann folgt $\begin{eqnarray} 54n^2-3n-7>0 \end{eqnarray}$ Und das ist ne wahre Aussage oder????
27.10.2004, 15:34	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Das problem was ich dabei hatte/habe war, warum man auch den Teil rechts vom "kleiner Als" mit 10 multiplizieren konnte um denoch eine wahre aussage zu erhalten...
28.10.2004, 00:55	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus a < b folgt 10a < 10b.
28.10.2004, 11:17	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Servus @WebFritzi und wieso hast die quadratische ergänzung mit eingefügt???
28.10.2004, 11:19	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur um deutlich zu machen, dass die Ungleichung tatsächlich stimmt.

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