Anzahl Kugeln in einem Würfel

24.10.2004, 18:07	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Kugeln in einem Würfel Eine Diskussion mit einem Freund führte zu folgender Fragestellung: Gegeben ist ein Würfel mit einer Seitenlänge a, in dem 8 gleiche Kugeln mit einem Durchmesser von a/2 so eingepasst sind, dass sie sich gerade berühren. Die Frage ist nun, passt in die Mitte zwischen die 8 Kugeln eine weitere Kugel ? Ich habe zwar ein Ergebnis, bin mir aber nicht sicher, ob ich richtig gerechnet habe und hätte gern eine Bestätigung.
25.10.2004, 11:27	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
@edit Was hier vorher stand war leider falsch! Im Mittelpunkt des Würfels der Kantenlänge L kann eine neunte Kugel plaziert werden. Diese Kugel paßt in den Zwischenraum der anderen acht Kugeln vom Durchmesser L/2 ohne diese zu berühren, wenn der Durchmesser der neunten Kugel den Wert $\begin{eqnarray} D_{max}=(\sqrt{2(5-2\sqrt{2})}-1)\,\frac{L}{2}\approx 1.084\frac{L}{2}. \end{eqnarray}$ nicht überschreitet. Betrachte zur Begründung die angehängte Skizze. Für den maximalen Durchmesser der neunten Kugel gilt: $\begin{eqnarray} D_{max}=2(\|\underline{c}\|-\frac{L}{4})\qquad\mbox{mit}\qquad\underline{c}=\underline{a}-\underline{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \underline{a}=\frac{L}{2}\,(1,\sqrt{2})\qquad\underline{b}=\frac{L}{4}(1,1). \end{eqnarray*}$ Gruß von Bruce
25.10.2004, 13:33	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler korrigiert!
25.10.2004, 18:22	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, ich sehe jetzt den Fehler in meiner Rechnung, ich hatte nämlich irrtümlich angenommen, dass die Mittelpunkte der drei Kugeln auf der Diagonale des Würfels liegen würden. Da sieht man wieder, was eine gute!!! Skizze/Zeichnung doch wert ist. Nochmals vielen Dank.
25.10.2004, 20:54	hummma	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiss nicht aber ich interpretier die aufgabe irgendwie anders Ich hab deine Skizze mal veraendert. Und da passt doch dann keine Kugel mehr rein.
25.10.2004, 21:36	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
@Gast Genau den gleichen Fehler habe ich zuerst nach einer schlampigen Skizze auch gemacht und das Ergebnis dann hier gepostet. Zum Glück ist mir der Fehler dann doch noch aufgefallen @humma Bei dir ist doch noch Platz für eine kleine Kugel! Im Prinzip sogar für beliebig viele. Aber ich glaube, Du interpretierst die Aufgabe falsch. Gruß von Bruce
Anzeige

25.10.2004, 22:39	hummma	Auf diesen Beitrag antworten »
Sol die Kugel in der mitte nicht genau so gross sein wie die anderen?
26.10.2004, 00:06	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja humma, so habe ich das auch verstanden. Gemäß deiner Skizze paßt die da nicht mehr rein. Du hast aber nicht bedacht, daß der fragliche Querschnitt durch den Würfel kein Quadrat der Kantenlänge a sondern ein Rechteck mit den Kantenlängen a und sqrt(2)*a ist. Du mußt schräg durch den Würfel schneiden, um den entscheidenden Querschnitt zu treffen. Eine Raumdiagonale des Würfels liegt in diesem Querschnitt. Gruß von Bruce
04.01.2005, 18:05	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die obige Zeichnung von Bruce hat einen Kardinalfehler, der große Teile der Rechnung zum Einsturz bringt: Die vier Eckkugeln sind falsch eingezeichnet - sie berühren nicht die kurzen Rechteckseiten... Die Lösung ist $\begin{eqnarray} D_{\max}=\frac{L}{2}(\sqrt{3}-1)\approx 0.732\cdot\frac{L}{2} \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »