Rest bei Division einer Quadratzahl durch 4

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24.10.2004, 21:05	tink	Auf diesen Beitrag antworten »
Rest bei Division einer Quadratzahl durch 4 Ich soll untersuchen welche Reste eine Quadratzahl bei Division durch Vier lassen kann. Durch ausprobieren stellt man fest dass der Rest immer 1 oder 0 ist. Aber wie schreibe ich das "mathematisch" auf
24.10.2004, 21:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dir allgemein eine Quadratzahl, also $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ . Unterscheide jetzt zwei Fälle: 1. a ist gerade. Wie lässt sich a dabei darstellen? 2. a ist ungerade. Wie lässt sich a hier darstellen?
24.10.2004, 21:20	tink	Auf diesen Beitrag antworten »
a gerade lässt sich darstellen als 2q, q element N a ungerade als 2q+1 Richtig?
24.10.2004, 21:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja! Und jetzt jeweils mal quadrieren, beim 2q+1 die binomische Formel benutzen!
24.10.2004, 21:30	tink	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, alles klar. jetzt etwas schwerer: welche reste kann eine ungerade Quadratzahl bei Division durch 8 lassen soweit bin ich: (2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1 aber das kann ich doch nicht als Produkt von 8 schreiben, oder?
24.10.2004, 21:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine ungerade Quadratzahl heißt ja, dass die Basis auch ungerade ist. Also $\begin{eqnarray} a=2q+1 \end{eqnarray}$ Jetzt unterschiedest du nochmal: q kann ungerade oder gerade sein: $\begin{eqnarray} q=2r \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} q=2r+1 \end{eqnarray}$ Wieder ausrechnen ...
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24.10.2004, 21:45	tink	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, da ich weiß dass die Basis ungerade ist (sonst wäre ja auch die Quadratzahl gerade) setze ich q=2r+1 ein, r Element N oder Z??? (2(2r+1))^2= 4(2r+1)^2 + 4*(2r+1) +1 = 8(r^2 +3r +1) +1
24.10.2004, 21:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du weißt, dass a ungerade ist, also $\begin{eqnarray} a=2q+1 \end{eqnarray}$ aber du weißt nicht, ob q jetzt auch ungerade ist! q kann auch gerade sein! Beispiel: $\begin{eqnarray} a=13 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=2\cdot 6+1 \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} q=6=2\cdot 3 \end{eqnarray}$ , also gerade! Deswegen nochmal die Unterteilung! r natürlich auch in N (vorausgesetzt, a ist natürlich). Du hast jetzt noch die 1 vergessen! $\begin{eqnarray} a=2q+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q=2r+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=2(2r+1)+1=4r+2+1=4r+3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2=(4r+3)^2=... ? \end{eqnarray}$
24.10.2004, 22:05	tink	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh je, ich versuchs noch mal: a^2 = (4r+3)^2 = 16r^2 +24r +9 = 8(2r^2 +4r +1) +1 Also wie schreibe ich das jetzt von Anfang an auf? Ach ja, wie machst du die mathematische Schreibweise, kann ich das auch?
24.10.2004, 22:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es gut, bis auf einen kleinen Fehler in der Klammer, da muss 3r stehen Du schreibst das jetzt so auf: $\begin{eqnarray} a=2q+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q=2r+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=2\cdot (2r+1)+1=4r+3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2=(4r+3)^2=16r^2+24r+9=8\cdot (2r^2+3r+1)+1 \end{eqnarray}$ Das mit den Formeln kannst du auch, das geht mit latex, dazu brauchst du nur den Formeleditor und musst dann auf den Button "f(x)" klicken. Am besten, du guckst dir mal hier an, wie du das machen kannst. Jetzt musst du noch den Fall $\begin{eqnarray} q=2r \end{eqnarray}$ betrachten!
24.10.2004, 22:24	tink	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, ich probier es mal Ich hab noch eine letzte Frage und hoffe die kannst du mir auch noch beantworten: zeigen sie, dass die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Quadratzahlen keine Quadratzahl sein kann Bisher habe ich soweit gerechnet: $\begin{eqnarray} (n^2) + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + (n+4)^2 = 5n^2 + 20n +30 \end{eqnarray}$ Aber wieso kann das keine Quadratzahl sein?
24.10.2004, 22:55	Brynn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist doch schonmal ein guter Anfang! Bestimme den Rest deines Ergebnisses bei Division durch 4. Unterscheide dazu, ob n gerade oder ungerade ist. Du erhältst zwei mögliche Reste und kannst nun die erste Teilaufgabe anwenden.

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