Dichte von Zufallsvariablen

Neue Frage »

ameisenbär Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte von Zufallsvariablen
habe folgende klausuraufgabe vor mir und weiß nichts damit anzufangen:

Es seien X und Y unabhängige ZV. X sei gleichverteilt auf (0,1) und Y sei gleichverteilt auf (0,2). Bestimme die Dichte von X + Y.



danke für eure hilfe

gruss
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ameisenbär
und weiß nichts damit anzufangen:

Wieso nicht? Noch nichts vom Faltungsintegral



gehört?
ameisenbär Auf diesen Beitrag antworten »

nein, noch nie gehört.. haben wir auch nicht in unserer vorlesung durchgenommen.. vielleicht in analysis 2, aber da war ich nicht anwesend...
könntest du mir denn sagen was es mit dem integral auf sich hat...?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bezeichnungen sind einigermaßen selbsterklärend, aber hier nochmal ausführlich:

Diese Formel ermöglicht die Berechnung der Dichte der Summe zwei stetiger, voneinander unabhängiger Zufallsgrößen mit den zugehörigen Dichten .

Die Dichte der gleichmäßigen Verteilung solltest du kennen, also kannst du jetzt damit die Dichte der Summe ausrechnen.
ameisenbär Auf diesen Beitrag antworten »

die dichte der gleichverteilung ist doch bei X=1 und bei Y=2. und dann??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ameisenbär
die dichte der gleichverteilung ist doch bei X=1 und bei Y=2

Dieser ganze Satz ist unsinnig. verwirrt
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dichten sind Funktionen. Ist X eine reelle Zufallsvariable und f ihre Dichte, dann gilt

ameisenbär Auf diesen Beitrag antworten »

danke, aber das weiß ich auch..
aber ich dachte die ableitung der verteilungsfunktion ist die dichtefunktion, und hier ist ja die verteilungsfunktion F(x)=[ Integral von 0 bis 1] (x) dx und F(y)= [Integral von 0 bis 2] (0,5 y) dy
und wenn ich die dann ableite kommt nun mal 1 und 0,5 raus...
was ist da falsch?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ameisenbär
danke, aber das weiß ich auch..

Schien mir nicht so.

Zitat:
Original von ameisenbär
aber ich dachte die ableitung der verteilungsfunktion ist die dichtefunktion, und hier ist ja die verteilungsfunktion F(x)=[ Integral von 0 bis 1] (x) dx

Du meinst

Dann nein, denn es muss ja F(1) = 1 sein. Ist's bei dir aber nicht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor hier noch mehr Unsinn zustande kommt, mal ein paar Klarstellungen:

Die Verteilungsfunktion ist die Integralfunktion der Dichtefunktion mit unterer Grenze , d.h.,



So und nicht anders ist der Zusammenhang beider Funktionen. Die Umkehrung muss schon nicht überall mehr gelten, sondern nur "fast" überall. Tatsächlich muss da nicht überall, sondern nur fast überall differenzierbar sein, was man im Fall der Gleichverteilung auch bereits sieht, da hat zwei "Knickstellen"...


Und jetzt konkret zur Gleichverteilung: Eine Zufallsgröße , welche auf dem Intervall (mit a<b) gleichverteilt ist, besitzt die Verteilungsfunktion

,

dazu gehört dann die Dichte

.

Hier nun haben wir eine solche Gleichverteilung auf dem Intervall , und dann noch eine andere auf dem Intervall vorliegen.
schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »



Muß ich noch die Grenzen des Integrals anpassen und wenn ja wie?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das Intervall sollte eingeschränkt werden. Allerdings ist auch der Integrand falsch - was hast du denn da eingesetzt?
schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich weiß auch nicht mehr, was mich da geritten hat. Hab doch glatt die Verteiungsfunktionen eingesetzt.

Ich würde das Integral auf Null bis Eins einschränken. Wie gehe ich mit der Abhängigkeit von um, da ja bei zu großem oder zu kleinem 0 wird?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Immer schön Schritt für Schritt vorgehen, nichts überhasten...

ist gleichverteilt auf . Also ist die Dichte für und gleich Null sonst. Das ergibt schon mal



Nun zu , das ist gleichverteilt auf . Also ist die Dichte für und gleich Null sonst.

Das in (*) einsetzen: heißt nun umgestellt . D.h., nur für diese gilt für die Dichte , für andere ist der Dichtewert Null.

Das erfordert, was nun die Integration über von 0 bis 1 betrifft, eine Fallunterscheidung bezüglich :


1.Fall :




2.Fall :




3.Fall :




4.Fall oder

Corni666 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich sitze vor einer Aufgabe, die ich ähnlich zu lösen gedenke. Die Aufgabenstellung ist leicht anders, aber es sollte sich eigentlich ähnlich rechnen lassen. Leider komme ich bei der Fallunterscheidung über z nicht ganz klar, um jede Hilfe wäre ich dankbar.

Also die Aufgabenstellung:

Ich habe 2 Zufallszahlen und und ihre Dichte gegeben. Nun interessiert mich die Dichte von dem Produkt der beiden Zahlen. Also .

Die Dichte von ist falls mit und
Die Dichte von ist falls

Nun ist bzw.
. Es müsste beides das gleiche sein, oder?

Welche Fallunterscheidungen über z fallen hier genau an?
Die Fläche unter müsste 1 sein und der Bildbereich von ist für alle z nicht-negativ, richtig?

Vielen dank für eure Zeit!

Grüße,
Corni
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Corni666
Welche Fallunterscheidungen über z fallen hier genau an?

Man hat ja zunächst . Also kannst du in deinem letzten Integral die Grenzen schon mal auf diese Werte setzen. Die Sache wird übersichtlicher, wenn du die Integrationsvariable x nennst.

Weiter ergibt sch . Das bedeutet für dein letztes Integral mit t in x umbenannt



Die zu unterscheidenden Fälle ergeben sich daher aus den Schnittpunkten von

und mit und

Am besten machst du dir eine Skizze. Ich bin auf folgende Fälle gekommen:













Wegen der Sammetrie von genügt es, die Rechnungen für z > 0 zu machen.

Zitat:
Die Fläche unter müsste 1 sein und der Bildbereich von ist für alle z nicht-negativ, richtig?

Das muss sich ergeben, wenn man sich nicht verrechnet.
fnsr21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AD
Immer schön Schritt für Schritt vorgehen, nichts überhasten...

ist gleichverteilt auf . Also ist die Dichte für und gleich Null sonst. Das ergibt schon mal



Nun zu , das ist gleichverteilt auf . Also ist die Dichte für und gleich Null sonst.

Das in (*) einsetzen: heißt nun umgestellt . D.h., nur für diese gilt für die Dichte , für andere ist der Dichtewert Null.

Das erfordert, was nun die Integration über von 0 bis 1 betrifft, eine Fallunterscheidung bezüglich :


1.Fall :




2.Fall :




3.Fall :




4.Fall oder



Hallo, wir bearbeiten gerade ein ähnliches Bespiel.

Ich verstehe nicht, wie du auf die Fallunterscheidung für z kommst, könnte dies jemand genauer erläutern?

Mfg!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »