Differentialrechnung.. Steigung der Tangente

18.03.2007, 16:36

zeraphinchen

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Differentialrechnung.. Steigung der Tangente

Hallo,

Hab grad das tolle Forum hier gefunden und auch schon die suche betätigt, aber irgendwie löst die nicht meine Fragen.

Ich schreib Mittwoch meine Klausur über Differentialrechnung eben und joa...

Ich hab kapiert, wie man ableitet und dass die Ableitung, wenn man von einem P (x|y) x in diese einsetzt, die Tangetensteigung ist. Das ist für mich schonmal gut Big Laugh

Big Laugh

Na ja, jetzt ist die Tangentensteigung ja t(x)=mx + n. m habe ich errechnet, aber wie kriege ich n raus?

Irgendwas hab ich hier stehen mit m * m senkrecht = -1, aber was bringt mir das? was ist m und was ist m senkrecht? Was hat der limes damit zu tun und was die Sekante?

verwirrt

verwirrt

Ich checks einfach nicht. Aber vielleicht kann einer von euch Licht ins Dunkele bringen? =)

Lg,
Julia

18.03.2007, 16:40

Bjoern1982

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Hallo

Zitat:

Na ja, jetzt ist die Tangentensteigung ja t(x)=mx + n. m habe ich errechnet, aber wie kriege ich n raus?

Indem du den Punkt P(x / y) in die Tangentengleichung y=mx+n einsetzt und nach n auflöst.

Gruß Björn

18.03.2007, 17:01

zeraphinchen

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Oh mann, ich bin ja blöd. >< Da hätt ich auch selbst drauf können, aber danke ^^

Und wie gehts dann weiter? Oder wars das?

18.03.2007, 17:26

zeraphinchen

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Und wozu muss ich übrigens die Sekante berechnen, eigentlich geht es doch nur um die Tangente? Zumindest, wenn ich etwas an einer bestimmten Stelle differenzieren will?

18.03.2007, 18:21

Bjoern1982

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Ich kann auch nur raten was das bedeuten soll.

Man erhält die erste Ableitung, indem man die Sekantensteigung der Tangentensteigung annähert. Die Sekantensteigung entspricht dem Differenzenquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ und durch den Limes kann man die momentane Änderungsrate (Tangentensteigung) ermitteln.

Mit m und m senkrecht sind wohl die Steigungen der Tangente in einem Punkt und die Normale in demselben Punkt gemeint.

Es gilt der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} m_{Tangente}\cdot m_{Normale}=-1 \end{eqnarray*}$

Wenn du also die Steigung der Tangente gegeben hast kannst du somit immer auf die Steigung der Normalen an dieser Stelle kommen.

Ich hoffe das hilft dir weiter.
Sonst frag nochmal genauer was du wissen willst smile

smile

Gruß Björn

18.03.2007, 19:28

joschi^

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Wenn du also die Steigung der Tangente gegeben hast kannst du somit immer auf die Steigung der Normalen an dieser Stelle kommen.

Ich mache das auch grad in der Schule, ist es nicht so , dass wenn du die Steigung der Tangente hast einfach den Kehrwert der steigung nimmst das vorzeichen umdrehst und somit die Steigung der Normalen hast?

Gruß
joschi

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18.03.2007, 21:58

zeraphinchen

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Soooo, also wie ich die Senkrechte zur Tangente ausrechne, hab ich jetzt verstanden smile

smile

Aber was genau bringt mir das? Kann mal jemand ne Aufgabe geben, in der ich das machen müsste? Also, ne Textaufgabe?

Zitat:

Sekantensteigung entspricht dem Differenzenquotienten und durch den Limes kann man die momentane Änderungsrate (Tangentensteigung) ermitteln.

Was ist der Differenzquotient?
Was ist x0, einfach ein Punkt?
Und wie genau differenziere ich an der Stelle x0?
Wie errechnet man die momentare Änderungsrate mit dem Limes?

Ihr seht, ich bin ne 0 in Mathematik unglücklich

unglücklich

19.03.2007, 00:19

Bjoern1982

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Zitat:

Kann mal jemand ne Aufgabe geben, in der ich das machen müsste? Also, ne Textaufgabe?

Bestimmen sie die Gleichung der Tangente und der Normalen an den Graphen von f im Punkt P(x0/f(x0)).

f(x)= x³ - 0.5 x² ; x0= -1

Zitat:

Was ist x0, einfach ein Punkt?

Nein, nur eine Stelle, an der differenziert werden soll.

Zitat:

Wie errechnet man die momentare Änderungsrate mit dem Limes?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Beispiel:

f(x)=x²-2x

Kannst es ja mal mit dieser Funktion probieren.

Gruß Björn

19.03.2007, 12:07

mYthos

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Zitat:

Original von joschi^
...
Ich mache das auch grad in der Schule, ist es nicht so , dass wenn du die Steigung der Tangente hast einfach den Kehrwert der steigung nimmst das vorzeichen umdrehst und somit die Steigung der Normalen hast?
...

Genau das steht doch auch bei Bjoern!

Zitat:

Original von Bjoern1982
...
Es gilt der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} m_{Tangente}\cdot m_{Normale}=-1 \end{eqnarray*}$
...

Wer lesen - und richtig interpretieren - kann, ist klar im Vorteil!! Big Laugh

Big Laugh

mY+

*Titel geändert*

19.03.2007, 14:30

zeraphicnhen

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Bestimmen sie die Gleichung der Tangente und der Normalen an den Graphen von f im Punkt P(x0/f(x0)).

f(x)= x³ - 0.5 x² ; x0= -1

da steig ich schon aus. ich leite die funktion ab - f(x)=3x² - x, oder?

aber was mach ich jetzt mit P? verwirrt

verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Beispiel:

f(x)=x²-2x

kannst du oder jemand anders das beispiel erklären? ich würde jetzt denken, dass ich die funktion halt oben einsetze - ich kann kein latex, aber halt dann

f(x²+h) - f(2x)
--------------------
h

? Aber wie würd die Sache dann weiter gehen? Punkt einsetzen? Oder wie? Öhh, hilfe. :X

19.03.2007, 14:40

Bjoern1982

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Zitat:

ich leite die funktion ab - f(x)=3x² - x, oder?

Ist richtig...nur schreib dann auch f ' (x) wenn es um die Ableitung geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du jetzt die gegebene Stelle x0 in die erste Ableitung einsetzt erhälst du die Steigung m der gesuchten Tangente t(x)=m*x+n

n erhälst du wiederum durch Einsetzen von P in t(x).
Die y-Koordinate ist zwar noch nicht gegeben, lässt sich aber einfach durch Einsetzen von x0=1 in f(x) berechnen.

Zitat:

ich würde jetzt denken, dass ich die funktion halt oben einsetze - ich kann kein latex, aber halt dann

f(x²+h) - f(2x)
--------------------
h

Nein, du musst in die Formel bzw in der gegebenen Funktion für jedes x dann x+h einsetzen....jedenfalls für den Summanden f(x+h) im Zähler:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-2(x+h)-(x^2-2x)}{h} \end{eqnarray*}$

Und jetzt fass das doch mal zusammen und klammere nachher h aus.

Gruß Björn

19.03.2007, 15:46

zeraphinchen

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Ups, das war nur ein Flüchtigkeitsfehler mit dem Strich ^^
Alsoooo, die Steigung der Tangente ist 4. n ist 2,5, das macht dann

t(x)=4x+2,5 oder?

Und jetzt die Gleichung der normalen - m senkrecht ist -0,25

n(x)=-0,25x+n senkrecht

Wie bekomm ich n senkrecht raus?

An der zweiten Aufgabe knack ich noch, irgendwas mit binomischer Formel...?

19.03.2007, 15:56

Bjoern1982

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Zitat:

t(x)=4x+2,5 oder?

Jawoll....prima smile

smile

Zitat:

Wie bekomm ich n senkrecht raus?

Verfahre genauso wie bei der Tangente, denn die Normale soll ja auch durch den Punkt P verlaufen.

Zitat:

An der zweiten Aufgabe knack ich noch,

Dann knack mal schön weiter Big Laugh

Big Laugh

Versuche erstmal alle Klammern aufzulösen....die erste binomische Formel musst du bei (x+h)² anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Am Ende, wenn sich ein h weggekürzt hat, musst du dann noch die restlichen h's gegen null laufen lassen und dann gucken was übrig bleibt.

Gruß Björn

19.03.2007, 16:30

zeraphinchen

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okkeee, dann ist n(x) =-0,25x - 1,75 =)

Wenn ich jetzt den Schnittpunkt errechnen müsste - gleichsetzen von
t(x) und n(x)? Oder gibts gar keinen Schnittpunkt? xD

Tjajaa, die zweite Aufgabe... Wenn ich die Klammern auflöse, kommt bei mir

x² + 2hx + h² - 2x + 2h - x² - 2x raus.

das heißt, x² fällt raus, oder? Argh, ich komm nicht weiter. :X

LG,
Julia

19.03.2007, 17:02

Bjoern1982

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Zitat:

okkeee, dann ist n(x) =-0,25x - 1,75 =)

Richtiiiiiiiig smile

smile

Zitat:

Wenn ich jetzt den Schnittpunkt errechnen müsste - gleichsetzen von
t(x) und n(x)? Oder gibts gar keinen Schnittpunkt? xD

Nana Julia....welchen (Schnitt)punkt haben t(x) und n(x) denn gemeinsam ?
(siehe Aufgabenstellung) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Tjajaa, die zweite Aufgabe... Wenn ich die Klammern auflöse, kommt bei mir

x² + 2hx + h² - 2x + 2h - x² - 2x raus.

Die Vorzeichen stimmen noch nicht so ganz...bedenke, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen, wenn man diese auflöst.

Dadurch sollte dann x² und auch 2x wegfallen.

Gruß Björn

19.03.2007, 20:56

zeraphinchen

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Ups, wie peinlich xD Mein Übereifer. ^^

Hmm... also dann krieg ich letztendlich 2x + h + 2 raus. verwirrt

verwirrt

Mal rein interessehalber, wie geht das ganze mit der x-Methode?

20.03.2007, 01:33

Bjoern1982

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Zitat:

Hmm... also dann krieg ich letztendlich 2x + h + 2 raus.

Es sollte $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2x+h-2 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Weil h gegen null strebt gilt somit $\begin{eqnarray*} f '(x)=\lim_{h \to 0} 2x+h-2=2x-2 \end{eqnarray*}$

Mit der x gegen x0 Methode ist es etwas aufwändiger...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x \to x_0} \frac{x^2-2x-(x_0^2-2x_0)}{x-x_0}= \lim_{x \to x_0} \frac{x^2-2x-x_0^2+2x_0}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}+\frac{-2x+2x_0}{x-x_0}= \lim_{x \to x_0} \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}+\frac{-2(x-x_0)}{x-x_0}= \lim_{x \to x_0} x+x_0-2=x_0+x_0-2=2x_0-2 \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

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