Unterraum, einfache Aufgabe

18.03.2007, 21:16

JayDi

Unterraum, einfache Aufgabe

Guten Abend

Es sei U = { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1\\x_2\end{pmatrix} \in \mathbb R^2 : x_1(x_1-2x_2) =0 \end{eqnarray*}$ }

Ist U ein Unterraum des R²?

Man muss ja nur auf Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation und der Addition prüfen.

Ich habe da mal x= Vektor(0,1) und y = Vektor(2,1) liegt beides in U aber die Addition nicht mehr, also ist U kein UR des R²

Aber kann mir jemand ein Beispiel für die Multiplikation nennen, ich verstehe da nicht ganz wie man das da macht oder wie man da eins findet.

Danke

JayDi

18.03.2007, 21:56

tigerbine

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RE: Unterraum, einfache Aufgabe
Probieren wir es mal aus:

1. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} 0\cdot(0-2\cdot 0) = 0 \end{eqnarray*}$ Freude

D.h. der die Menge U ist nicht leer.

2. Sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ . Was ist dann mit $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x_1\cdot (\lambda \cdot x_1-\lambda \cdot 2x_2) =\lambda^2 \cdot [x_1(x_1-2x_2)] = \lambda^2 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

3. Bleibt nur noch die Addition. Seien dann eben $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1\\y_2\end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ . Was folgt dann für die Summe $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1+y_1\\x_2+y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)\cdot[(x_1+y_1)\cdot[(x_1+y_1)-2(x_2+y_2)]] \end{eqnarray*}$

Jetzt mal auflösen und schauen ob 0 rasukommt. Wink

18.03.2007, 22:12

JayDi

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Hallo Tigerbine.
Es freut mich sehr, dass du mir das alles so detailliert aufgeschrieben hast, vielen Dank!

$\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)\cdot[(x_1+y_1)\cdot[(x_1+y_1)-2(x_2+y_2)]] = (x_1+y_1)*(x_1^2+x_1y_1-2x_2x_1-2y_2x_1+y_1x_1+y_1^2+y_1y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x_1(x_1^2+x_1y_1-2x_2x_1-2y_2x_1+y_1x_1+y_1^2+y_1y_2)+y_1(x_1^2+x_1y_1-2x_2x_1-2y_2x_1+y_1x_1+y_1^2+y_1y_2) \end{eqnarray*}$

Wie soll da jemals Null herauskommen? unglücklich

18.03.2007, 22:15

tigerbine

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Vielleicht ist es ja kein Unterraum Augenzwinkern

War ja als Frage formuliert. Du hattest doch oben ein Gegenbeipsiel. Das musst du eben nur in dieser Form aufschreiben, fertig.

18.03.2007, 22:36

WebFritzi

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RE: Unterraum, einfache Aufgabe

Zitat:

Original von tigerbine
D.h. der Unterraum ist nicht leer.

18.03.2007, 22:45

tigerbine

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RE: Unterraum, einfache Aufgabe
Was ist da jetzt die Frage, Fritzi?

Ich bin einfach die klassische Checkliste durchgegangen ... Hätte ich besser "U" sagen sollen, da es am Ende j akein Unterraum ist?