Menge der bijektiven Abbildungen

Neue Frage »

Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der bijektiven Abbildungen
Hallo liebe Nation,

am Rande der Verzweiflung wende ich mich wieder an Euch:
(vorab: bei allen Teilmengen-Zeichen fehlt der Gleichheitsstrich, da wusste ich nicht wie das Zeichen geht. Vielleicht kann's ja jemand editieren, der's weiß)

Seien M und N nicht leere Mengen, und sei N M. Für alle definieren wir f*: M --> M durch f*(m) = f(m) falls
und f*(m) = m, falls für alle .

1. Beweisen Sie, dass gilt.
2. Beweisen Sie, dass die Abbildung F: , definiert durch F(f) = f* für alle , injektiv ist.
3. Beweisen Sie, dass die im zweiten Teil der Aufgabe definierte Abbildung F genau dann surjektiv ist, wenn M = N gilt.

Nur zur Sicherheit: ist die Menge der bijektiven Abbildungen N --> N

Okay, wie immer zunächst meine eigenen Ergüsse:

Aufgabe 1) hab ich hinbekommen, wobei ich unterwegs auf die Frage gestoßen bin, ob man eigentlich aus N M folgern kann, dass ist. Brauch ich zwar nicht unbedingt, ginge dann aber kürzer.

Aufgabe 2): Hier geht es um eine Abbildung, die Abbildungen auf andere Abbildungen abbildet! Da kann ich mir jetzt gar nichts drunter vorstellen. Im Prinzip muss ich doch trotzdem einfach nur zeigen, dass
. Aber wie???

Aufgabe 3) Da mach ich mir Gedanken zu, wenn ich die 2) kapiert habe und dann reden wir nochmal...

Gruß Poldi
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der bijektiven Abbildungen
Sn c Sm, ich denke nein und zwar schon deswegen weil das völlig
verschiedene Dinge sind und deren Schnitt sogar leer sein müsste,
sofern nur M<>N gilt.
.

Aufgabe 2): ... nur zeigen, dass
. Aber wie???


Aber wie,

anhand der Wirkung der Urbilder f1, f2 auf Elemente x aus N *g*
.
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der bijektiven Abbildungen
Also ich hab mir da jetzt mal was aufgemalt und jetzt habe ich zumindest eine Vorstellung, worum es hier eigentlich geht und weiß außerdem, dass meine Lösung zu 1) schon falsch war, aber das konnte ich alleine korrigieren und dass meine Schlussfolgerung hinsichtlich der Teilmengen in der Tat völliger Humbuk war.
Zitat:
anhand der Wirkung der Urbilder f1, f2 auf Elemente x aus N *g*


Ha, danke für den Tipp: ich glaub, ich hab's:

für m N (andere Elemente kommen für f ja eh nicht in Frage) gilt doch: F(f(m)) = f*(m) = f(m). Somit bildet F alle f auf sich selbst ab und dann gilt natürlich F(f1) = F(f2) => f1 = f2
Rischtisch???

Ich mach mich mal an die 3), für die Ihr gern schon Tipps geben dürft...
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der bijektiven Abbildungen
Es war ja zu befürchten, dass ich auch bei der 3) nochmal Hilfe brauch:

Von der Logik her ist mir das klar:

ist die Menge der bijektiven Abbildungen N --> N und
ist die Menge der bijektiven Abbildungen M --> M

Wenn M mehr Elemente hat als N, dann gibt es natürlich auch mehr bijektive Abbildungen M --> M als N --> N, so dass mehr Element hat als . Da F aber nur dann surjektiv sein kann, wenn und gleich viele Elemente haben, muss M = N sein, damit F surjektiv ist.

Umgekehrt gilt: Wenn M = N dann ist die Anzahl der Elemente von gleich der von und da F injektiv ist, muss es demnach auch surjektiv sein.

Aber wie kann ich das Ganze denn formal ausdrücken???
Vorausgesetzt die Argumentation stimmt überhaupt und ich hab nicht wieder einen dämlichen Gedankenfehler drin.

Gruß Poldi
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der bijektiven Abbildungen
Zitat:
Original von Poldi
Da F aber nur dann surjektiv sein kann, wenn und gleich viele Elemente haben,


Warum sollte das so sein? Du sagst hier nur "surjektiv", nicht "bijektiv"!
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der bijektiven Abbildungen
Gott, bist Du ... Du weißt schon!!! Augenzwinkern

Zitat:
Original von Ben Sisko

Warum sollte das so sein? Du sagst hier nur "surjektiv", nicht "bijektiv"!


Ja, aber F ist doch injektiv, das hab ich unter 2) bewiesen (hätte ich vielleicht noch dazu schreiben sollen...). Also ist doch "surjektiv" dann automatisch "bijektiv" und das geht doch nur bei gleich vielen Elementen in Definitions- und Wertemenge, oder bin ich jetzt ganz neben der Spur???

Gruß Poldi
 
 
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, hast recht, dann ist es surjektiv. Und nicht nur das, es ist sogar die Identität. Denn:

sei M=N => f*(m) = f(m) für alle
(denn es gibt ja keine die nicht auch wären)

also ist F(f) = f* = f und daher die Identität, und die ist nunmal sowieso bijektiv.



Andere Richtung: F sei surjektiv, mit 2) sogar bijektiv, also gibts für jedes genau ein mit g=F(f) =:f* wie in der Aufgabenstellung Konstruiert.

Sei jetzt , also gibts ein .

Ich nehme mir jetzt ein und ein Element und bastel mir ein so dass:

1) f**(x) = f(x) für x ungleich m,n
2) f**(m) = n
3) f**(n) = m
Damit habe ich jetzt ein die kein Bild von F ist, damit ist F nicht surjektiv im Widerspruch zur Vorraussetzung. Also kan M nicht ungleich N sein...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der bijektiven Abbildungen
und dass meine Schlussfolgerung hinsichtlich der Teilmengen in der Tat völliger Humbuk war.

... nun ja, so völliger Humbuk war das nun auch wieder nicht.

Ist eine Definitionsfrage, was denn nun genau unter S_N zu
verstehen ist. Sind damit Bijektionen gemeint die auch auf N oder
M funktionieren, wie z.B. die Identität, dann sind die Mengen nicht
elementfremd. Meint S_N jedoch sozusagen auf 'N indizierte'
Bijektionen um deren Zugehörigkeit klar zum Ausdruck zu bringen,
dann ist z.B. Identität_N was anderes als Identität_M und die beiden
Mengen wären elementfremd.

Entscheidend ist nicht wie's tatsächlich ist, sondern mehr dass
mögliche Differenzen gesehen werden ...
.
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

Da es sich bei ihm um "die Menge der bijektiven Abbildungen N-->N" handelt würde ich eher sagen dass die Mengen nicht vergleichbar sind und auch nicht Teilmenge voneinander sein können. Es kan eine ganze Handvoll Bijektionen in S_M geben, die, auf N reduziert, dort die Identität darstellen...

Ein etwas hinkender Vergleich: der R² ist auch keine Teilmenge des R³, obwohl sie beide das Nullelement haben. Man kann ihn aber leicht darauf abbilden (so wie F in der Aufgabe die kanonische Abbildung von S_N auf S_M war, nur dass S_N und S_M nicht notwendigerweise Vektorräume darstellen)
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Nett, dass Ihr mein Problem diskutiert, während ich noch schlafe ... Freude

Aber jetzt bin ich wach, hab mir alles genau angeschaut und fast alles verstanden. Einen kleinen Schubs brauche ich aber noch:

Zitat:
Original von pumuckl
1) f**(x) = f(x) für x ungleich m,n
2) f**(m) = n
3) f**(n) = m
Damit habe ich jetzt ein die kein Bild von F ist,


Kannst Du mir vielleicht nochmal erklären, warum f** kein Bild von F ist!!

Zitat:
so wie F in der Aufgabe die kanonische Abbildung von S_N auf S_M war


Wat heißt denn jetzt wieder "kanonische Abbildung"???
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

f** ist kein Bild von F, weil in den Bildern von F alle m die nicht in N sind, auf sich selbst abgebildet weerden und alle n aus N werden auf ein anderes Element aus N abgebildet, weil F im Endeffekt nur eine Erweiterung von f aus S_N schafft. hier wird aber n auf m abgebildet, es gibt keine bijektion auf N die das könnte (weil m nicht in N)

kanonisch heißt so viel wie einfach, das worauf man am schnellsten kommt. Und es gibt nunmal keine einfachere Möglichkeit, S_N auf S_M abzubilden, als einfach die f aus S_N zu erweitern mit der Identität auf M-N
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar!!! Hab's begriffen und wieder jede Menge dazu gelernt!!!

Wie immer TAUSEND DANK an alle!

Bin bestimmt in ein paar Tagen wieder hier. Der neue Studienbrief ist da und mir wird schon beim drüber schauen schlecht Kotzen

Also bis bald,
Poldi
Calculator Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss leider die Idylle ein wenig stören... geschockt
Zitat:
Original von pumuckl
Sei jetzt , also gibts ein .

Ich nehme mir jetzt ein und ein Element und bastel mir ein so dass:

1) f**(x) = f(x) für x ungleich m,n
2) f**(m) = n
3) f**(n) = m
Damit habe ich jetzt ein

Das stimmt so i.A. nicht.
Gegenbeispiel:
Wähle N={1,2}, M={1,2,3}
f(1)=2, f(2)=1 =>
n=1,m=3
Damit gilt:
f**(1) = 3, f**(2) = 1, f**(3) = 1,
woraus folgt
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

jop, sorry. es muss natürlich heißen

2) f**(m) = f(n)

also ist f** gleich f*, nur die Bilder von n und m sind vertauscht
Calculator Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt bin ich auch zufrieden. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »