Textaufgabe zum Thema Extremwertsaufgabe

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26.10.2004, 17:35	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe zum Thema Extremwertsaufgabe brauche hilfe bei folgender textaufgabe: Ein Ort A hat von einem geradlinig verlaufenden Kanal einen Abstand von 20 km. Es sei B der Fußpunkt des Lotes von A zum Kanal. Der Kanal führt zur Hafenstadt C, die 70 km von B entfernt ist. Die Landfracht kostet 170 % der Wasserfracht. Wo muss ein Hafen H am Kanal gebaut werden, damit die Frachtkosten con C nach A ein Minimum annehmen? Der Hafen H soll mit dem Ort A durch eine Straße geradlinig verbunden sein. hab mal ne skizze gemacht aber mehr kann ich mit der aufgabe auch net anfangen bitte um rat
26.10.2004, 17:48	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Textaufgabe Nachdem es sich bei diesem Beispiel um eine Extremwertaufgabe handelt, hänge ich das mal im Titel an. Du brauchst nun eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung: Bezeichne zuerst die Strecke Land (AH) mit x und die Strecke Kanal (HC) mit y. Hauptbedingung: Kosten Nebenbedingung: Pythagoras stell bitte mal die Bedingungen auf und poste sie dann.
26.10.2004, 18:21	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
also weiß net obs richtig ist hab mal bissel was versucht weiter bin ich auch net gekommen also x= Wf1,7 y = Wf K=Wf 1,7 + Wf
26.10.2004, 18:26	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
für x km Landweg zahlst du 1,7x WF und für y km Wasser yWF WF kannst du zur Berechnung dann getrost weglassen => Hauptbedingung: 1,7x + y -> min Jetzt fehlt noch die Nebenbedingung!
26.10.2004, 23:29	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ich versteh nicht warum da x und y steht x ist ja 170% der wasserfracht also 1,7*y ???
27.10.2004, 13:03	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Land: AH = x Wasser: HC = y Nehmen wir einmal an, dass es 20 km zu Land und 35 km zu Wasser wären. Dann berechnest du ja die Kosten mit 1,7WF20 + WF35 oder? Und nun geben wir die kmZahl zu Land mit x (km) und zu Wasser mit y (km) an und erhalten somit die Kostenfunktion: K(x,y) = 1,7WFx + WFy x und y haben nichts mit der WF zu tun sondern sind Längenangaben für den Weg.
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27.10.2004, 16:09	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
ok so langsam versteh ich es nur noch eins. da steht doch nicht das die Lf 170% von der Wf pro kilometer ist sondern die landfracht überhaupt 170% von der WF ist verstehst du wie ich das meine? sagen wir mal Wf = 2 ; Lf= 2*1,7 ich weiß ich hab da irgendwie nen fehler aber komme net drauf
27.10.2004, 17:14	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh schon, was du meinst. Aber in der Angabe ist (versteckt) impliziert, dass das die Kosten pro km sind, sonst gäbe doch die gesamte Aufgabe keinen Sinn oder?
28.10.2004, 14:29	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
ja schon also dann mach ich mal so und die nebenbedingung wäre dann AB²+BC²=AC² ????? x²+y²=AC²???
28.10.2004, 16:44	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein , dass die Aufgabenstellung ein bisschen falsch ist ? Denn wenn die Landfracht 1,7mal so teuer ist , wie die Wasserfracht , dann ist der günstigste Weg eine direkte Verbindung von A nach C per Wasserfracht. Die Aufgabe würde viel mehr Sinn machen , falls die Wasserfracht 1,7 mal so teuer wäre , wie die Landfracht. Dann würde diese Aufgabe nämlich ein Minimum besitzen , wo man am günstigsten den Hafen bauen sollte. //edit Es kann auch sein , dass ich die Aufgabenstellung falsch verstanden habe , aber nach den Postings dadrunter sollte es so gemeint sein . //edit2 Hier mal meine Rechnung für die Aufgabe , wie ich sie verstanden habe. Definitionsbereich : $\begin{eqnarray} 0\leq a\leq 70 \end{eqnarray}$ (a ist unten nächer erklärt) HB: $\begin{eqnarray} f(x)=1,7x+y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=WF \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=LF \end{eqnarray}$ Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} a+y=70 \end{eqnarray}$ (a ist das Teistück . falls man nicht den vollen Landweg benutzt) $\begin{eqnarray} x=\sqrt{(20^2+a^2)} \end{eqnarray}$ So, nun alles einsetzen und man erhält folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(a)=1,7\sqrt{(20^2+a^2)}+70-a \end{eqnarray}$ erste Ableitung bilden... $\begin{eqnarray} f(a)=1,7\frac{2x}{2\sqrt{(20^2+a^2)}}-1 \end{eqnarray}$ Nullstellen bestimmen.... $\begin{eqnarray} x1=14,54 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x2=-14,54 \end{eqnarray}$ Mit Hilfe des Definitionbereichs und der zweiten Ableitung , liegt bei $\begin{eqnarray} x1 \end{eqnarray*}$ das Minimum.
28.10.2004, 18:00	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
@koRn: Der Kanal läuft von B nach C, wenn ich die Angabe richtig lese. Daher muss man zuerst über Land zum Kanal kommen. Außerdem ist es nicht günstig, dem Fragesteller die Rechnung vorzurechnen, er sollte schon möglichst selbst draufkommen. @SEV-N: Wir (ich) haben AH mit x und HC mit y bezeichnet. Nun musst du das Dreieck ABH für den Pythagoras hernehmen, wobei du dir die Strecke BH noch als 70-y ausdrücken musst. Probiers nun nocheinmal.
28.10.2004, 18:06	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ... sorry nochmal . Hab da echt was übersehen .
28.10.2004, 18:10	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
@koRn: Macht doch nichts. Passiert leicht bei solchen Aufgabenstellungen. Deshalb muss man da öfters nachlesen, um die genaue Fragestellung herauszulesen!
29.10.2004, 14:24	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
als nebenbedingung habe ich 20²+(70-y)²=x und dann als Zielfunktion f(y) = 1,7y²-237y+9010 soweit richtig? //edit das kann nicht sein so klappts mit der hinr.Bed. nicht //habe fehler gefunden das x²
29.10.2004, 18:06	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler richtig gefunden: Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} x=\sqrt{20^2+(70-y)^2} \end{eqnarray}$ und nun richtig in die Hauptbedingung einsetzen. Wie lautet dann die Zielfunktion?
31.10.2004, 20:29	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
ok zielfkt.: $\begin{eqnarray} f(x)=y+1,7 \sqrt {20^2+(70-y)^2} \end{eqnarray}$ müsste man doch noch vereinfachen können oder? noch ne frage so am rande ich weiß nicht mehr so genau wie man mit wurzeln und so umgeht so allgemeine regeln wie zb wurzel aus x mal wurzel aus x = x wo kööönte ich sowas finden. oder auch für brüche.
01.11.2004, 08:22	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Zielfunktion stimmt! Vereinfachen geht mMn nicht. Jetzt ableiten. ____________________ Themen zum Rechnen mit Wurzeln und Brüchen findest du sicher hier im board genügend. Gib bei Suche die Begriffe ein.
01.11.2004, 08:24	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist doch vollkommen konstant!! @SEV-N Du müsstest schon f(y) schreiben
01.11.2004, 12:29	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt an das f(x) hab ich mich wohl zu sehr gewöhnt. ok mal die ableitung $\begin{eqnarray} f' (y)= 1 + \sqrt{20^2 + (70 \cdot y)^2} + \frac{1,7}{\sqrt{20^2 + (70 \cdot y)^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1,7y^2 - 238y + 9010 \end{eqnarray}$ und dann blein ich hier hängen $\begin{eqnarray} x1,2=70\pm \sqrt{4900-5300} \end{eqnarray}$
01.11.2004, 14:58	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung ist leider falsch . Schau besser nochmal nach der Kettenregel und leite danach ab.
01.11.2004, 19:07	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
und was ist dann hier die innere und äußere ableitung? _______________________ noch eine frage am rande denke es lohnt sich net dafür nen thread zu eröffnen will jetzt von der funktionsschar ft(x) = x³-3tx² +2t²x die nullstellen bestimmen. wollte dabei die polynomdivision anwenden doch wie soll ich ne zahl raten ?
01.11.2004, 19:15	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kettenregel brauchst du zum Ableiten von $\begin{eqnarray} \sqrt {20^2+(70-y)^2} \end{eqnarray}$ . Außen ist die Wurzel und innen ist, das was unter der Wurzel steht, da brauchst du dann nochmal die Kettenregel oder du löst die bin. formle auf. äußere Ableitung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\cdot \sqrt {20^2+(70-y)^2}} \end{eqnarray}$ innere Ableitung: $\begin{eqnarray} 2y - 140 \end{eqnarray}$ jetzt noch alles zusammensetzen ...
01.11.2004, 19:18	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal eine Hilfe von mir , damit du weiterrechnen kannst. $\begin{eqnarray} f(y)=y+1,7\sqrt{(400+(70-y)^2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(y)=y+1,7\sqrt{z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(y)=1+1,7\frac{1}{2\sqrt{z}}z' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=400+(70-y)^2 \end{eqnarray}$ ... so und jetzt kannst du ja weitermachen. //edit Für dein zweites Problem benutz einfach zuerst die Faktorisierung und anschließend die allgemeine pq-Formel zur Lösung der Gleichung. $\begin{eqnarray} ft(x) = x^3-3tx^2 +2t^2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ft(x) = x(x^2-3tx +2t^2) \end{eqnarray*}$ ....
01.11.2004, 19:40	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist das erstmal richtig? $\begin{eqnarray} f'(x)= 1 + \sqrt{400 + (70-y)^2} + \frac{3,4y - 238}{2 \sqrt{400 + (70-y)^2}} \end{eqnarray}$
01.11.2004, 19:47	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
nein wo kommt denn die Wurzel nach dem 1 + her?
01.11.2004, 19:51	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
nein , leider auch nicht . Ich weiß nicht , wieso du immernoch den Term $\begin{eqnarray} \sqrt{400+(70-y)^2} \end{eqnarray}$ nach der 1 hast ... $\begin{eqnarray} f(y)=y+1,7\sqrt{400+(70-y)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(y)=y+1,7\sqrt{z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(y)=1+1,7\frac{1}{2\sqrt{z}}z' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=400+(70-y)^2 \end{eqnarray}$ ... ich mach mal hier weiter . $\begin{eqnarray} z'=-2(70-y) \end{eqnarray}$ (Hierbei sollte auch die Kettenregel beachtet werden) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(y)=1+1,7\frac{1}{2\sqrt{z}}-2(70-y) \end{eqnarray}$ Jetzt setze ich noch z ein und im Bruch kürzt sich die 2 heraus. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(y)=1+1,7\frac{y-70}{\sqrt{400+(70-y)^2}} \end{eqnarray}$
01.11.2004, 20:19	SEV-N	Auf diesen Beitrag antworten »
der muss doch hin wegen der produkt regel $\begin{eqnarray} 1,7\sqrt{400+(70-y)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f=UV \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'=U'V+UV' \end{eqnarray}$ ... gerade hab ich mein en feler entdeckt ok mach dann mal weiter ok bin dann darauf gekommen $\begin{eqnarray} = \frac{1,7y - 119 + 1\sqrt{400 + (70 - y)^2}}{\sqrt{400 + (70 - y)^2}} \end{eqnarray}$ und zum schluss f'(y)=1,7y-118 ich hab so ein ungutes gefühl
02.11.2004, 09:33	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du da wieder auf den Schluß? Ich nehme an, du hast die Wurzel gekürzt, das geht aber nicht, da eine Summe im Zähler steht! Nimm $\begin{eqnarray} \frac{1,7y - 119 + 1\sqrt{400 + (70 - y)^2}}{\sqrt{400 + (70 - y)^2}}=0 \end{eqnarray}$ und rechne das aus.

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