Exponentales Wachstum

Neue Frage »

Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentales Wachstum
Die Zeit für die Entwicklung der Eier beim Zooplankton hängt von der Temperatur ab. Bei einer Temperatur von 20°C dauert es 3 Tage, bei 5°C bereits 20 Tage.

Trägt man die zeit (gemessen in Tagen) gegen die Temp. (gem. ind °C) in ein log-log-Diagramm ab, so ist der Graph eine Gerade.

i) Zeichne den Graph der Entwicklung der Eier als als FKt. der Temp. im log-log-Diagramm.

ii) Leiten sie iene expleziete funktionalen Zusammenhang zwischen Entwicklung und Temperatur ab.

iii) Verwenden Sie ihre Antwort ii) um eine Vorhersage über dei Entwicklung der Eier bei einer Temp. von 10°C zu treffen.

Lsg:

I) Nehm ich dann wol die Basis e und vereinfache sie.

ii)


iii)
























Tage

Hab ich nun richtig gerechnet?
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »



ist wohl besser wenn ich Schreibe S= Seeplankton

Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... dadurch wirds auch nicht richtiger *g*

überprüf dein Funktions Resultat doch mal auf Übereinstimmung
mit den GEGEBEN Wertepaaren (20°C, 2Tage), und (5°C, 20Tage)


weitere Tipps hab ich keine ..... *ggg*

Augenzwinkern
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du da es sich um grad celsius handelt brauch ich diese gleichung.

Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht doch schon viel besser aus oder? ^^
W-Temperatur in °C
t-Entwicklung der Eier in Tagen



















~ 26








~ 12 Tage
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das sieht doch schon viel besser aus oder? ^^
rechne mal den Punkt (2Tage, 20°) nach, der liegt nicht gescheit
drauf ..., aber das müsste er.

Ich denke wenn du das ausradiert hast, wird auch der Wert für
10° richtig(er) .

Augenzwinkern


und etwas genauer dürfts auch noch sein ...
 
 
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss mich mal edieren oben und hier:

Ich habe doch tatsächlich 2tage und 20grad geschrieben doch da steht inmeiner aufgabe auf dem blatt 3 tage 20 grad habe es auch geich geändert. denke daran hat es gelegen warum du sagtest, das es falsch ist ^^. Und zu deiner genauigkeit hier noch einmal alles hargenau ^^
ACH JA: Sind die Bezeichnungen richtig gewählt?

W-Temperatur in °C
t-Entwicklung der Eier in Tagen



















~ 26








~ 12 Tage
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentales Wachstum
Die Zeit für die Entwicklung der Eier beim Zooplankton hängt von der Temperatur ab. Bei einer Temperatur von 20°C dauert es 2 Tage, bei 5°C bereits 20 Tage.

... das ist aus deiner Eröffnungspost :-oo
wie soll da wer wissen, dass 3 anstatt 2 Tage gemeint sind ??


ok, hast das inzwischen alles selbst bemerkt . Augenzwinkern
... dann KÄMS EVTL grob hin, wenn da nur das Wörtchen 'wenn' ...






... kommt ABER nicht hin, weil nämlich der Fkt.Ansatz eine der
Ausgangsbedingungen NICHT erfüllt . :-oo
.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

^mh ich kenn nur folgende:

w(t)=c*e^ak

w(t)=c*e^-ak

und

für temperatur unter ner angaben temperatur

w(t)=E+C*e^ak

was gibs denn noch???
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

du müsstest doch log.- Papier haben, wegen (i)
dann zeiche mal eine solche Funktion

w(t)=c*e^ak

z.B. y = 1/10 * e^(0.5*x) im Bereich etwa von 0 bis 10

.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Gleichung einer Geraden im log-log-Papier nicht:

log(y) = a + b*log(x) ?

etzwane
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tatsache, dass das Zeit- Temperaturdiagramm in einem Log-Diagramm (wobei es allerdings sinnvoll ist, wenn nur eine Größe logarithmisch aufgetragen wird) eine Gerade ist, bedingt, dass die Funktion eine Exponentialfunktion ist.

Die Temperatur wird (waagrecht) linear aufgetragen, der Logarithmus der Zeit senkrecht. Das hat den Vorteil, dass der Graph der Funktion überschaubar bleibt, auch wenn der Funktionswert exponentiell sehr schnell wächst.

Die Gerade auf dem Log-Papier hat die Gleichung

log(t) = c + k*w [t .. Zeit, w .. Temperatur]

Daher hat die Exponentialfunktion (also quasi der "echte" Verlauf) die Form:

.. c, k sind Konstanten



Es wird gesetzt, damit ist



Die gegebenen zwei Stützwerte werden nun in die Funktion zur Berechnung von t_0 und k eingesetzt.

Gr
mYthos
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

















~ 11 Tage

Noch meine Frage wie bist du denn darauf gekommen. Wie hätte ich mir das ganz einfach herleiten können?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber hier passt was nicht zusammen

w(t) = c*e^kt

ergibt log gegen log aufgetragen, wie oben in der Aufgabe
ausgesprochen keine Gerade.
.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

^^ Sorry ich fand die Frage zufor dumm und habe deshlab gleich meine Antwort gepostet.

Stimmt das un dkannst dumir sagne, wie man den zusammenhang erkennen kann?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentales Wachstum
Zitat:
Original von Anaiwa

Trägt man die zeit (gemessen in Tagen) gegen die Temp. (gem. ind °C) in ein log-log-Diagramm ab, so ist der Graph eine Gerade.



@Anaiwa

Kannst du bitte klären, ob es in der Aufgabenstellung tatsächlich "log-log-Diagramm" heißt, das ist nämlich von Bedeutung.

In einem log-log-Diagramm sind beide Achsen logarithmisch geteilt !

etzwane
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es handelt sich wirklich um ein log-log diagramm. in der Vorlesung hatten wir sogar ein Zeile + Diagramm dazu ^^ oh man mein Mathe proff der rast einfach nur duch den stoff.

Wenn du es mir nicht glaubst, kann ich gerne das ganze aufgaben blatt einscannen na willst du es sehn ^^.

Stimmt nun mein ergebniss *lieb alle anschaut und lächelt*
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht liegt hier ein Fehler in der Aufgabenstellung vor ...

wie man auf den anderen Zusammenhang käme hat 'etzwane'
ja schon angedeutet. Nur ist mir dann bei dem Resultat mulmig.

Wenn das also ein Fehler wär, dann ist dein jetziges mehr oder
minder 'richtig'.

Allerdings ist deine Berechnung für den 10° Fall mehr als seltsam
.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

ok, Scan ist nicht nötig.

Wie lautet denn nun die Gleichung einer Geraden in einem ganz normalen (linear geteiltem) Koordinatensystem, und wie dann wohl in einem log-log-Koordinatensystem, bei dem die Koordinatenachsen logarithmisch geteilt sind ?

etzwane
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich dachte, es liegt vielleicht ein Schreibfehler vor und es sollte nur log-Diagramm heissen.

Bei einem log-log Diagramm müsste dann folgerichtig gelten:

log(t) = k*log(w) + c

daraus





Und wieder sind es zwei Konstanten a, k, welche aus den gegebenen zwei Stützwerten zu errechnen sind.

[EDIT] [EDIT]

Hier liegt keine Exponentialfunktion, sondern eine Potenzfunktion (mit Basis w) vor.

Das folgende habe ich wieder gelöscht, war nicht haltbar ..

Gr
mYthos
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

So also in nem normalen Koordinatensystem würde soe wie folgt heissen:

y=mx+n

im log-log heisst sie:

y=f(x)=C*x^a

lny=lnf(x)=lnC+lnx^a=lnC+a(lnx)

X=lnx
Y=lnY --> Y=ln(c)+aX

so habe ich mri das aufgeschreiben

Aber wie kommst du zu diesen ganzen Annahmen wenn ich in 3 Wochem meine Klausur schreibe muss es doch irgendwie einen Zusammenhang geben @ mYthos
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Anaiwa

Die Gleichung einer Geraden ist eine lineare Gleichung der Form

y = k*x + c

k und c sind Parameter (k in diesem Fall die Steigung)

Die Gleichung der Geraden nun auf einem doppelt logarithmischen Papier erhält man daher, indem man y durch log(t) und x durch log(w) ersetzt. Damit erhält man

log(t) = k*log(w) + c

Ist das bis jetzt soweit klar?
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

also wen y=t und x=w ist dann könnte ich es nachfolzien da c und k konstanten sind.

--> log(y)=k*log(x)+c= log(t)=k*log(w)+c










lieg ich dann bis hier hin richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bis

....



ist es richtig! Danach ist ein fataler Fehler passiert, wie kommst du auf 100 (du meintest doch wohl 4 ...)?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

'etzwane' hats weiter oben schon gepostet, 'mYthos' eben ...

log(y) = a + b*log(x) oder eben

log(Tage) = a + b*log(Temp) oder
ln(Tage) = a + b*ln(Temp) oder


e^ln(Tage) = e^(a + b*ln(Temp))

und hier kannst jetzt all das 'Gelernte' aus dem anderen Thread
einsetzen und umformen ... . Augenzwinkern Augenzwinkern
.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

4 meinte ich nicht, habe das falsch potenzgesetz dann angewendet.

also gehts so weiter und zwar das a^n+a^m das warn aber nicht die gelichen basen sondern die gleichen exponenten hast recht.



mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anaiwa

....






Du musst BEIDE Seiten der Gleichung logarithmieren!

Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

oh man, ja klar ich glaub ich habe schon zu viel mathe gemacht Augenzwinkern

als dann kommt für k= -1,3685

3=a*20^-1,3685

a=180,95



für 10°C

w(t)=7,75 Tage
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt alles exakt so!
War also gar nicht so schwer.

Man darf hier allerdings NICHT von einer Exponentialfunktion sprechen, auch wenn sie hier so ähnlich aussieht. Daher war die Überschrift des Themas sehr irreführend, denn es stand ja: Exponentielles Wachstum, was hier infolge der Linearität im log-log Diagramm definitiv nicht der Fall ist!

Die Funktion



ist nämlich eine Potenzfunktion! Demzufoge muss die Basis w > 0 sein (negative Temperaturen werden nicht erfasst, bei 0° gibt es kein Wachstum bzw. ist die Zeitdauer )

Gr
mYthos
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

So und diese funktion soll ich nun in ein log-log diagramm eintragen das heist

zu welcher basis

da mir mein prof sagte die logs sehn e^x aus und dann soll man ranschrieben, das man die basis e benutzen und ienfach nur die x werte benutzen.


aber hier ist ja die basis w und der exponet is k soll ich da einfach auch so vorgehen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Logarithmieren kann man auch eine Potenzfunktion. Es werden ja nur statt der Variablen deren Logarithmen aufgetragen, zu welcher Basis, ist dabei nicht so essentiell.

Wir logarithmieren also die Funktion (zur Basis e):

ln(t) = ln180,95 - 1,3685.ln(w)

ln(t) = 5,2 - 1,3685.ln(w)

Wenn du kein doppel-logarithmisches Zeichenblatt hast, musst du es sozusagen erst "generieren", ansonsten sind die Werte für 1, 2, 3, .., 20 auf beiden Achsen bereits im richtigen (logarithmischen) Verhältnis eingezeichnet.

Bei einem normalen Zeichenblatt tragen wir auf der waagrechten Achse nun die Zahlenwerte für ln(1), ln(2), ln(3), .., ln(20), .. auf, senkrecht dazu die entsprechenden ln(t) - Werte (5,2 - ln(w)) auf, alle Punkte müssen dann auf einer Geraden liegen.

Gr
mYthos
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »