vollständige induktion

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27.10.2004, 16:45	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige induktion hallo mathe-fans! ;-) unser prof versucht uns gerade in die vollständige induktion einzuweihen und beschert uns zum üben folgende aufgabe: $\begin{eqnarray} Sn= 1+ x+ x^{2} + x^{3} + ...+ x^{n} = \frac{(x^{n+1})-1}{x-1} \end{eqnarray}$ leider weiß ich nicht, wie ich da drangehen soll! kann mir jemand helfen?
27.10.2004, 17:37	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, dann erzähl mir doch mal wie die Induktion Funktioniert! (Es gibt übrigens auch einen schönen Induktionsworkshop, schau da auch mal rein )
27.10.2004, 17:39	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
ach so! fast vergessen: $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N , falls x\neq 1 \end{eqnarray}$
27.10.2004, 17:45	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
in dem workshop habe ich mich auch schon umgeschaut. leider hilft mir das nur in meinem problem nicht wirklich weiter! aber danke für den tip! :-) p.s. heute hatten wir übrigens unsere 2. vorlesung. also behaupte ich mal (und das muss nicht bewiesen werdeng), dass ich der absolute anfänger bin. mein 1. problem besteht schon darin, dass ich nicht weiß, was $\begin{eqnarray} x\neq 1 \end{eqnarray}$ zu bedeuten hat! darf ich also für den induktionsanfang keine 1 einsetzen? wenn nein, setze ich dann besser die 2 ein?? och menno.... :-(
27.10.2004, 17:48	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
x ist eine reelle variable. Die Induktion trifft Aussage über die natürlichen Zahlen. Entsprechend hat das x nur für die Aussage an sich, aber nicht für die Induktion eine Bedeutung. Die Gleichung gilt für alle natürlichen Zahlen solange x !=1 ist. Das heißt Du darfst die 1 verwenden. Schreib mir doch mal den Induktionsanfang hin (ich würde ja mit 0 beginnen )
27.10.2004, 17:50	pumuckl	Auf diesen Beitrag antworten »
das bedeutet nur, dass du in die Formel für x keine 1 einsetzen darfst (wär schlimm wenn du dann in dem Bruch durch 0 teilen müsstest ) Eine Induktion wird über natürliche Zahlen geführt, da x aber reell ist wirst du die Induktion wohl über n führen müssen...
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27.10.2004, 17:54	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Herje, da hab ich mich mal wieder dumm ausgedrückt. Natürlich ist die Induktion über n zu machen. thx
27.10.2004, 17:57	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man! das ist ja echt schon fast peinlich, solche fragen für die ganze welt öffentlich zu stellen! ;-) @mazze nach deinen erklärungen kann ich x also nicht mit n vergleichen!? (in den bisherigen gleichungen steht nämlich auch immer ein n) sprich, ich muss sowieso erst noch ein n einsetzten, weil ich es so ja auch nicht für n beweisen kann!?!?! lieber gott! bitte lass diese doofen fragen nicht so viele menschen mitlesen...
27.10.2004, 17:58	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
x ist nicht n. sondern n ist n. Du musst also n =1 oder n = 0 (je nach dem wie ihr die natürlichen Zahlen definiert habt) setzen. Also muss die 1 in den exponenten das x bleibt x.
27.10.2004, 18:01	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
@ pumuckel das mit der 1 in x einsetzen ist klar (division durch 0) aber normal setzte ich doch für den induktionsanfang n=1 !?!? WO IST MEIN n???
27.10.2004, 18:01	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein n ist im exponenten. Da steht doch $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$
27.10.2004, 18:04	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
YIPIIIIIIII habe gerade eben mein n gefunden! ;-) (wer lesen kann ist klar im vorteil)
27.10.2004, 18:09	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
dann habe ich meinen induktionsanfang: $\begin{eqnarray} x^{2} - 1= x^{2} - 1 \end{eqnarray}$
27.10.2004, 18:14	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
für n = 1 ists richtig.
27.10.2004, 18:18	pumuckl	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach umformung, richtig... Ursprünglich müsste es heißen $\begin{eqnarray} 1+x^1 = \frac{x^{1+1}}{x-1} \end{eqnarray}$ So, und nun den Schritt von n-1 nach n oder von n nach n+1 je nachdem wies gelernt war fg
27.10.2004, 18:27	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
aber jetzt komm ich wieder nicht weiter. mein Induktionsschluss sieht bis jetzt so aus: $\begin{eqnarray} \frac{(x^{n+1})-1}{x-1} +x^{n+1} = \frac{(x^{(n+1)}+1)-1}{x-1} \end{eqnarray}$ übrigens: das +1 in der rechten hälfte soll auch oben in die potenz (hab wohl auch probleme mit dem formeleditor...) und das ist dann gleich $\begin{eqnarray} \frac{(x^{n+1})-1}{x-1} + \frac{(x-1)(n+1)}{x-1} = \frac{(x^{n+2})-1}{x-1} \end{eqnarray}$ und dann hab ich ein problem wie es weitergeht
27.10.2004, 18:35	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreib Dir den Kram den Du bis jetzt hast mal Formal korrekt hin vielleicht siehste dann ja wie es weiter geht Induktionsanfang: n = 1 $\begin{eqnarray} x^0 + x^1 = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} 1 + x = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} 1 + x = \frac{(x + 1)(x-1)}{x - 1} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} 1 + x = 1 + x \end{eqnarray}$ Induktionsvorraussetzung: Es existiert eine natürliche Zahl n so daß $\begin{eqnarray} x^0 + x^1 + ... + x^n = \frac{x^{n+1} -1}{x - 1} \end{eqnarray}$ Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray} x^0 + x^1 + ... + x^n + x^{n+1}= \frac{x^{n+2} -1}{x - 1} \end{eqnarray}$ Ziel der Induktion jetzt ist es die Vorraussetzung irgendwie zu benutzen. edit Oh ich seh grad Du hast die Vorrausetzung ja schon Verwendet also $\begin{eqnarray} \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1} + x^{n+2} = \frac{x^{n+1}-1 + x^{n+2}(x-1)}{x-1} \end{eqnarray}$ vielleicht reicht dir das ja schon
27.10.2004, 18:54	Inselqueen	Auf diesen Beitrag antworten »
1000000000 Dank!!!! ich komm zwar trotzdem nicht auf den schluss aber ohne euch wär ich nichtmal bis zum anfang gekommen! :-) vielleicht ist es manchmal einfach besser aufzuhören, feiern zu gehen und den nächsten tag mit frischem kopf erneut an die aufgabe... also nochmals an alle: vielen, vielen dank!! und noch einen schönen abend

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