Ergänzung zu Gauß

19.03.2007, 15:52	Dini30453	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzung zu Gauß Ich habe nochmal eine Frage, nachdem mir bei der letzten Aufgabe, die eigentlich total einfach war, so toll geholfen wurde.(Ich aber einfach nicht wusste wie ich anfange sollte),hätte ich bezüglich dieser Thematik noch eine Frage vielleicht kann da ja noch einmal ein Blick drauf geworfen werden. Unter "Gauß"lässt sich die Aufgabe plus Lösung einsehen. Nun hier meine ergänzende Frage dazu: "Was muß getan werden, um die Parameter aus der Aufgabe aus der Fehlerquadratsumme zu berechnen? Kann man die Paramter analytisch oder nur numerisch berechnen??? Bin für jede Hilfe echt dankbar!!!!!! LG
20.03.2007, 04:35	sennaH	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ergänzung zu Gauß Die Fehlerquadratsumme $\begin{eqnarray} S(p_1, p_2, p_3) \end{eqnarray}$ ist eine Funktion der drei Parameter p_i und soll minimal werden. Also müssen die drei partiellen Ableitungen gleich Null sein: $\begin{eqnarray} \frac{\partial S}{\partial p_1} & = & 0 \\ \frac{\partial S}{\partial p_2} & = & 0 \\ \frac{\partial S}{\partial p_3} & = & 0 \end{eqnarray}$ . Jetzt noch diese Gleichungssystem lösen. Ob das in diesem Fall analytisch geht, weiß ich jetzt auch nicht so auf die Schnelle.
22.03.2007, 19:35	Dini30453	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ergänzung zu Gauß Hallo....da du dich ganz gut mit dem Thema auskennst, ich mich aber nicht so gut damit anfreunden kann, bzw. ich das schon verstehe aber ich immer nicht so recht etwas mit der Formulierung anfangen kann. Die Frage ist so ähnlich wie die erste, nur hier sind recht viele(in der Originalklausur 7 Funktionen!) Daher bin ich mir nicht sicher, ob deine Antwort so richtig ist??? Die Frage lautet:" Können sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate die Parameter der folgenden Funktionen durch Anpassung an Messwerte analytisch berechnen? a) $\begin{eqnarray} y(x) = p_1x+\frac{x^2}{p_2} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} y(x) = p_1sin(x)+p_2cos(x) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} y(x)= p_1e^x +p_2x \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} y(x)= p_1sin(x)+cos(p_2x) \end{eqnarray}$ " Ich habe von den 7 Funktionen erstmal vier ausgewählt,es wäre nett, wenn mir auch hier jemand behilflich sein könnte. Danke schonmal im Voraus!!!!!
22.03.2007, 21:26	sennaH	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ergänzung zu Gauß Na, ich bin mir ziemlich sicher, dass das so geht, aber es ist nicht wirklich mein Gebiet. Vielleicht kann ja einer von den richtigen "Auskennern" mal bestätigen/dementieren? Welche Formulierung ist dir denn unklar? Jedenfalls: Wenn du bei einer Funktion von einer Unbekannten ( $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ) das Minimum suchst, setzt du ja die erste Ableitung gleich Null (ganz normal wie bei einer Kurvendiskussion). Unsere Fehlerquadratsumme - ich nenne sie mal $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ - hängt aber von zwei Unbekannten ab: von $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_2 \end{eqnarray}$ . Wenn man hier das Minimum sucht, funktioniert das ganz genauso: Man muss beide partiellen Ableitungen Null setzen. (partielle Ableitung geht ganz normal: nach einer Variable ableiten und die andere(n) als Konstante ansehen.) Dann hast du eben 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten ( $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_2 \end{eqnarray}$ ), also ein Gleichungssystem. Bei 7 Funktionen kann ich ja ruhig mal eine (a) vormachen: $\begin{eqnarray} S(p_1, p_2) = \sum (y_i - f(x_i))^2 = \ldots = \sum (y_i^2 - 2x_i y_i p_1 - 2\frac{x_i^2 y_i}{p_2} +p_1^2 x_i^2 + 2 x_i^3 \frac{p_1}{p_2} + \frac{x_i^4}{p_2^2}) \end{eqnarray}$ Jetzt die beiden partiellen ersten Ableitungen bilden und gleich Null setzen: $\begin{eqnarray} 0 & = & \frac{\partial S}{\partial p_1} = \sum(-2x_i y_i + 2 p_1 x_i^2+2\frac{x_i^3}{p_2}) \\ 0 & = & \frac{\partial S}{\partial p_2} = \sum(2\frac{x_i^2 y_i}{p_2^2}-2\frac{x_i^3 p_1}{p_2^2}-2\frac{x_i^4}{p_2^3}) \end{eqnarray}$ Noch ein bisschen rummachen (durch 2, Klammern auflösen, mal p_2^3, ...) ergibt als Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} 0 & = & -\sum x_i y_i + p_1 \sum x_i^3 + \frac{1}{p_2}\sum x_i^3 \\ 0 & = & p_2 \sum(x_i^2 y_i - p_1 x_i^3) - \sum x_i^4 \end{eqnarray}$ Dieses Gleichungssystem läßt sich durchaus nach $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_2 \end{eqnarray}$ auflösen, bin jetzt nur ein bisschen tippfaul. Übrigens: Der Spezialfall der linearen Regression ( $\begin{eqnarray} y(x) = p_1 x + p_2 \end{eqnarray}$ ) läßt sich garantiert analytisch lösen. Bei b) und c) kommen die beiden Parameter auch nur linear (einmal und mit Potenz 1) vor, also lassen sich die auch garantiert analytisch lösen.
23.03.2007, 12:00	Dini30453	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ergänzung zu Gauß Danke, das du Dir nochmal die Zeit genommen hast,ich dachte halt nur, dass wenn man sich schon für eine Funktion solch einen Aufwand machen muss, dann schaffst man ja die anderen Aufgaben der Klausur nicht und das sind immerhin 10 Stück, zeit ist aber nur 90 min..... Aber egal...ich habe heute meine Klausur geschrieben und sie lief richtig gut!!!!! LG Denise
26.03.2007, 10:43	tesuji	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ergänzung zu Gauß Hallo, hab das heute zufällig gesehen (sodaß meine antwort für die klausur wohl zu spät kommt). Die Minimierung der Quadratsummen nach der Gaussschen (besser: +Legendre) Methode führt über die partiellen Ableitungen auf ein sogenanntes Normalgleichungssystem. Die Auflösung nach den gesuchten Parametern p1, p2, ... ist immer dann analytisch möglich, wenn das Normalgleichungssystem ein lineares Gleichungssystem ist. Dies trifft für die ersten 3 Beispiele zu. Das Beispiel mit cos(p2x) führt wegen der Ableitung d(cos(p2x))/dp2 auf ein nichtlineares Gleichungssystem, was nicht analytisch lösbar ist. Mittels numerischem Verfahren, z.B. Levenberg-Maquardt oder Gauss-Newton-Verfahren gehts aber. Grüsse von Tesuji
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26.03.2007, 14:42	Dini30453	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ergänzung zu Gauß Auch wenn ich die Klausur schon geschrieben habe, Vielen dank nochmal für die tolle Erklärung.... Man lernt ja nie aus!!!!!!

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