Graßmann-Identität

19.03.2007, 16:27

mathisse

Graßmann-Identität

Hallo, ich muss die Graßmann-Identität beweisen:

$\begin{eqnarray*} \vec x \times (\vec y \times \vec z) = (\vec x \cdot \vec z) \cdot \vec y - (\vec x \cdot \vec y) \cdot \vec z \end{eqnarray*}$

Was mir dabei etwas unklar ist, dass auf der Linken Seite ein Vektor steht (Krezprodukt ergibt ja ein Vektor?) und auf der Rechten ein Skalar.
Kann mir jemand erklären, wieso das möglich ist?

Grüsse,
M

19.03.2007, 16:38

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, da wird dir die Schlamperei bei der Schreibweise der skalaren Multiplikation und des Skalarproduktes zum Verhängnis.

Hier noch einmal die Graßmann-Identität:

$\begin{eqnarray*} x \times (y\times z) = \langle x, z \rangle y - \langle x, y \rangle z \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

19.03.2007, 18:44

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Graßmann-Identität

Zitat:

Original von mathisse
Hallo, ich muss die Graßmann-Identität beweisen:

$\begin{eqnarray*} \vec x \times (\vec y \times \vec z) = (\vec x \cdot \vec z) \cdot \vec y - (\vec x \cdot \vec y) \cdot \vec z \end{eqnarray*}$

Was mir dabei etwas unklar ist, dass auf der Linken Seite ein Vektor steht (Krezprodukt ergibt ja ein Vektor?) und auf der Rechten ein Skalar.
Kann mir jemand erklären, wieso das möglich ist?

Grüsse,
M

und auch auf der rechten seite steht ein vektor
$\begin{eqnarray*} (\vec{x}\cdot\vec{z}) \vec{y}= skalar\cdot \vec{y} \end{eqnarray*}$
daher die klammern, damit du weißt, von welchen vektoren das skalarprodukt zu bilden ist
werner

19.03.2007, 19:44

mathisse

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, therisen und wernerrin,
vielen Dank für eure Antworten, jetzt weiss ich auch nicht wie ich auf der Idee mit dem Skalar kam... Hammer

Ich habe jetzt mit dem beweisen angefangen, und habe hier sowas wie eine Musterlösung - auf der gibt es eine Umformung:

http://omnibus.uni-freiburg.de/~ic6/math/umformung.jpg

Ich kann sie aber nicht kommplett nachvollziehen ich komme nur zu sowas wie:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {y_1(x_2z_2+x_3z_3)-z_1(x_2y_2+x_3y_3)} \\ {y_2(x_1z_1+x_3z_3)-z_2(x_1y_1+x_3y_3)} \\ {y_3(x_1z_1+x_2z_2)-z_3(x_1y_1+x_2y_2)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Könnte mir jemand ein Tipp geben wie ich weiterrechnen kann?

Gruss,
M

19.03.2007, 19:53

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, da hast du wohl zu lange draufgeschaut, dass du das nicht siehst - einfach in jeder Zeile eine "nahrhafté" Null addieren

$\begin{eqnarray*} x_1y_1z_1 - x_1y_1z_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2y_2z_2 - x_2y_2z_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3y_3z_3 - x_3y_3z_3 \end{eqnarray*}$

Oder Alternativvorschlag: Geh doch von der rechten Seite aus und forme die zur linken um.

11.11.2010, 22:06

Eyvan

Auf diesen Beitrag antworten »

Haha hab es endlich rausgekriegt.
Soll mal nocheiner sagen stundenlanges anstarren bringt nix. Big Laugh

Hier meine Lösung:

http://www.bilderload.net/bild-GramannIdentittjpg-50077.htm

bissel krackelig geworden, aber leicht zu verstehen. Lehrer

11.11.2010, 22:15

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Dreieinhalb Jahre harte Arbeit. Das zeigt Einsatz!

Neue Frage »

Antworten »

Graßmann-Identität

Verwandte Themen