Wie bringe ich diese Lösung zu Papier? (Thema: Potenzmenge)

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cheetah_83 Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bringe ich diese Lösung zu Papier? (Thema: Potenzmenge)
Ich hab folgende Aufgabe:
Sei M eine endliche Menge und P1 Teilmenge von P(M) (bzw. P2 Teilmenge von P(M)) die Menge der Teilmengen mit einer geraden (bzw. ungeraden) Anzahl von Elementen.
Zeige Betrag von P1 = Betrag von P2
als Hinweis dazu: Sei b aus M ein fetses Element. Betrachte die Abbildung a: P1 nach P2 mit
a(N)=N vereinigt b falls b nicht in N
und a(N)=N - b, falls b in N

Die Lösung ist mir klar. durch die beiden Abbildungen, bilde ich alle geraden teilmengen auf alle ungeraden teilmengen ab. somit muss es also gleichviele geben.
allerdings hab ich keine ahnung wie ich das aufschreiben soll
kann mir da jemand nen tipp geben?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo cheetah,

Zitat:
Betrag von P1 = Betrag von P2

du meinst wohlr die Kardinalitäten (also die Elementanzahl) der beiden Mengen. Diese wird auch oft mit senkrechten Strichen geschrieben, hat aber nichts mit dem bekannten Betrag von zum Beispiel bei reellen Zahlen zu tun.


was du formal zeigen musst, ist, dass die Abbildung a bijektiv (also injektiv und surjektiv) ist, das heißt, dass zwischen den Elementen aus P1 und ihren Bildern in P2 eine eineindeutige Zuordnung herrscht [jedes Element aus P1 hat genau ein Bild in P2, jedes Element in P2 hat genau ein Urbild in P1].

Ich weiß nicht, ob es schneller geht als mein Vorschlag, aber Bijektivität zeigt man oft, in dem man getrennt Injektivität (zu jedem Bild existiert höchstens ein Urbild) und Surjektivität (jedes Element aus P2 wird mindestens einmal "getroffen") zeigt.

Injektivität: zu zeigen ist "aus a(N) = a(M) folgt N=M", am besten mittels eines Widerspruchsbeweises (du siehst zum Beispiel sofort, dass a(N)=a(M) nur sein kann, wenn dein gewähltes b in beiden oder in keiner der Mengen liegt..., danach behaupte, es existiere ein Element u (!=b) in N [oBdA], das nicht in M liegt.....)
Surjektivität: zeige einfach, das zu jedem Element (natürlich allgemein!) von P2 (teile sie dazu in 2 Teilmengen ein, Mengen, die b enthalten bzw. nicht enthalten) ein entsprechendes Urbild (also das Element, das von a auf dieses Element abgebildet wird) in P1 liegt (wie sieht das Urbild allgemein aus?; welche beiden Bedingungen müssen denn gelten, damit es in P1 liegt?)

Und wenn du hast, dass eine Bijektion zwischen 2 (noch dazu endlichen) Mengen existiert (hast du dann mit a gezeigt), so sind die Kardinalitäten der beiden Mengen gleich.
Damit sollte das ganze nicht mehr schwer sein, oder?

Viel Spaß noch beim knobeln und sry, falls es am Ende irgendwie viel schneller geht...

Jochen




edit:
ich merke gerade, dass dieser Beweis und überhaupt die ganze Sache nur funktioniert, wenn die ursprüngliche Menge nicht leer ist.
denn: P({}) = {{}}, diese enthält nur ein einziges Element (und zwar eine Menge mit NULL also einer geraden Anzahl von Elementen)
natürlich kann der Beweis hier nicht klappen, denn immerhin könnte es schwer werden, ein festes Element b aus der leeren Menge zu wählen.....
das steht aber sicher bei der ursprünglichen Aufgabe dabei, oder?
Sei M eine endliche nichtleere Menge....(?)
 
 
cheetah_83 Auf diesen Beitrag antworten »

habs heut nachmittag genau so mit einigen kommilitonen gelöst. trotzdem danke für die hilfe

das die menge nicht leer sein darf, stand übrigens nicht dabei
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