Lineare Optimierung |
| 28.10.2004, 21:31 | Gast100 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lineare Optimierung Hoffe mir kann wer helfen 
und das erklären:Ein Problem der linearen Optimierung sei durch folgendes mathematisches Modell gegeben: a) Nicht-Negativitätsbedingungen: x > 0, y>0 b) Weitere einschränkende Bedingungen: 30x+20y < 240 x<5,6 y<5 35x+42y>147 Zielfunktion: Z(x,y) = 9x+3y Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch. ( Was bitte für ein Ding??) Ermitteln Sie den Punkt M11, in dem die Zielfunktion maximal wird, und den Punkt M12, in dem die Zielfunktion minimal wird. LG |
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| 29.10.2004, 01:22 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lineare Optimierung Hallo Gast100, ein Polygon ist ein Vieleck. Du sollst die einschränkenden Bedingungen erstmal in ein Koordinatensystem einzeichnen. Weißt du, wie man eine Ungleichung einzeichnet (eine Ungleichung gibt einen Halbraum an, zeichne erst die entsprechende Gleichung, also Gerade ein und überlege, für welche Seite der Geraden die Ungleichung steht)? Wenn du dies mit allen gemacht hast, dann wirst du ein Vieleck erhalten. Dies ist der zulässige Bereich, also all die (x,y)-Kombinationen, die aufgrund der Nebenbedingungen als Lösung in Frage kommen. Nun musst du die Zielfunktion für einen von dir festgelegten Wert einzeichnen (mach es so, dass die Gerade mitten durch den zulässigen Bereich geht) und dann durch Verschiebung den Minimal- bzw. Maximalpunkt finden. Alles klar? Gruß vom Ben |
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| 29.10.2004, 01:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, dies ist gar nicht so schwer. Zeichne alle gegebenen linearen Beziehungen (außer der Zielfunktion) in ein x-y - Koordinatensystem ein, indem du zunächst alle kleiner- od. größer - Zeichen durch = ersetzt. Wegen der Nichtnegativitätsbedingung wird nur im Bereich der positiven x-Achse und positiven x-Achse gezeichnet! Dadurch erhältst eine Reihe von Geraden, die einen geschlossenen Streckenzug (Polygon = Vieleck) ergeben. Die Geraden stellen nun die Grenze des kleiner- bzw. größer-Bereiches dar, daher kommt bei "kleiner" nur der Bereich links bzw. unterhalb der Geraden in Frage, bei "größer" entsprechend umgekehrt. Wenn du alle Geraden x = 0 y = 5 3x + 2y = 24 (durch 10 gekürzt) x = 5,6 y = 0 5x + 6y = 21 (durch 7 gekürzt) richtig gezeichnet hast, ergibt sich ein unregelmäßiges Sechseck mit den Eckpunkten (0 | 3,5), (0 | 5), (14/3 | 5), (5,6 | 3,6), (5,6 | 0) und (4,2 | 0) Der allen Bedingungen genügende Bereich liegt nun innerhalb dieses Polygons. Die Zielfunktion z = 9x + 3y soll nun so optimiert werden, dass ein Punkt aus diesem Bereich gewählt wird, der - in die Zielfunktion eingesetzt - diese minimal oder maximal macht. Dazu zeichnen wir die Zielfunktion zunächst für ein beliebiges z, zweckmäßigerweise (z.B.) für z = 0, dann erhalten wir eine Gerade durch den Nullpunkt: 9x + 3y = 0, das entpricht y = -3x Jetzt verschieben wir diese Gerade so lange (nach rechts) parallel, bis das Polygon erstmals in einem Eckpunkt getroffen wird, das ist in (0 | 3,5) der Fall. Dieser Punkt stellt das absolute Minimum der Zielfunktion dar und ist daher M12. Den Wert von z in diesem Punkt ermitteln wir durch Einsetzen: z_min = 9*0 + 3*3,5 = 10,5 Beim weiteren Parallelverschieben der Zielfunktionsgeraden bis zum äußersten Punkt rechts wird letztmalig nicht etwa der Punkt (14/3 | 5), sondern der Punkt (5,6 | 3,6) erreicht, dieser ist der gesuchte M11. Der Wert der Zielfunktion dort ist das absolute Maximum und ist z_max = 9*5,6 + 3*3,6 = 50,4 + 10,8 = 61,2 Dass der Punkt (14/3 | 5) weiter oben links nicht das Maximum darstellen kann, ist leicht zu zeigen, denn dann wäre z = 42 + 15 = 57, und das ist weniger als 61,2. Gr mYthos EDIT: Sorry Ben, ich hatte meine Antwort schon geschrieben, bevor ich deinen Post lesen konnte! Nachdem ich's diesmal so ausführlich gemacht habe, möchte ich es gerne stehen lassen ... |
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| 29.10.2004, 01:52 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du gern 
Das kann man so nicht sagen. Multiplizier mal eine Ungleichung mit (-1), so stellt sie immer noch den gleichen Halbraum dar, aber "kleiner" hat sich in "grösser" geändert. Man muss sich also immer genau überlegen, welche Seite gemeint ist. Gruß vom Ben |
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| 29.10.2004, 08:47 | lupo1977 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Polygon ist eigentlich auch nicht korrekt. Sollte eigentlich ein konvexes Polygon bzw. im allgemeinen ein konvexes Polyeder sein. Für ein allgemeines Polygon klappt die LO nicht. Tut mir leid, ich weiss ich bin ein alter Besserwisser
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| 29.10.2004, 10:59 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich fasse gern das Vokabular des Fragenden auf, wenn es nicht gar zu falsch ist, wenn die Gefahr besteht, dass er dadurch nur verwirrt wird. Ich denke für Gast100 ist es herzlich egal, wie viele Namen das Gebilde hat, was er da zeichnen soll und welcher davon nun vielleicht der Passendste ist. Also: Immer adressatenbezogen schreiben
Gruß vom Ben |
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