Diagonalisierung und Spektralsatz

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mr_endres Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierung und Spektralsatz
Hallo,
Ich habe folgende Matrix gegeben :

Nach dem Spektralsatz ist die Abbildung f zu A selbstadjungiert also A symmetrisch und es muss eine orthogonale Matrix T geben sodass diagonal mit Eigenwerten von f auf der Diagonalen und Eigenvektoren als Basis.

Rechne ich dann :


Jetzt meine Fragen :
1) Nach Spekralsatz muss A je diagonalisierbar sein. Bilde ich nur mal von A das charakteristische Polynom so bekomme ich da keine NS heraus ! warum? Zumindest sehe ich die nicht sofort. Es stimmt aber schon dass A diagonalisierbar ist.
2) Mit der obigen Rechnung erhalte ich aber aus A eine Diagonalmatrix aber dabei ist T nicht orthogonal, was es aber nach Spektralsatz sein müsste. Da jetzt T aber nicht orthogonal ist D auch nicht ähnlich zu A und damit A mit diesem Ansatz auch nicht diagonalisierbar. Wo ligt nun mein Fehler ? KAnn es sein, dass es außer der Definition (A diagonalisierbar genau dann wenn A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, wobei ähnlich bedeutet, dass es eine Basis B gibt bzgl. der f dann diagonalisierbar ist.) noch eine andere gibt. Im Skript bin ich nämlich gerade bei Sesquilinearformen. Hmmm....


Bin für jede Antwort dankbar.

mfg Johannes
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir ist:



Und das hat sehr wohl 3 reelle Nullstellen.

zu 2)

Nach Spektralsatz gibt es eine orthonormal Basis das heisst nicht das jede Basis orthonormal ist. Normalwerweise muss man die Eigenvektoren noch normieren. Die Matrix aus den normierten EV ist dann orthogonal.
mr_endres Auf diesen Beitrag antworten »

Also das charakteristische Polynom lautet doch :



und da ist zumindest deine Lsg. x=4 falsch
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mr_endres
Also das charakteristische Polynom lautet doch :



und da ist zumindest deine Lsg. x=4 falsch

Liegt wohl daran, dass dein char. Polynom falsch ist. Du weißt, wie man die Determinante einer 3x3-Matrix berechnet?
mr_endres Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry erstmal an alle, mein Polynom ist nicht falsch ich habe nur bei meinem ersten Eintrag die Matrix A falsch abgetippt der Beitrag sollte richtig lauten ::
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Hallo,
Ich habe folgende Matrix gegeben :

Nach dem Spektralsatz ist die Abbildung f zu A selbstadjungiert also A symmetrisch und es muss eine orthogonale Matrix T geben sodass diagonal mit Eigenwerten von f auf der Diagonalen und Eigenvektoren als Basis.

Rechne ich dann :


Jetzt meine Fragen :
1) Nach Spekralsatz muss A je diagonalisierbar sein. Bilde ich nur mal von A das charakteristische Polynom so bekomme ich da keine NS heraus ! warum? Zumindest sehe ich die nicht sofort. Es stimmt aber schon dass A diagonalisierbar ist.
2) Mit der obigen Rechnung erhalte ich aber aus A eine Diagonalmatrix aber dabei ist T nicht orthogonal, was es aber nach Spektralsatz sein müsste. Da jetzt T aber nicht orthogonal ist D auch nicht ähnlich zu A und damit A mit diesem Ansatz auch nicht diagonalisierbar. Wo ligt nun mein Fehler ? KAnn es sein, dass es außer der Definition (A diagonalisierbar genau dann wenn A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, wobei ähnlich bedeutet, dass es eine Basis B gibt bzgl. der f dann diagonalisierbar ist.) noch eine andere gibt. Im Skript bin ich nämlich gerade bei Sesquilinearformen. Hmmm....


Bin für jede Antwort dankbar.

mfg Johannes
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Im übrigen war mein char. Polynom zur Ursprungsmatrix auch nicht ganz richtig weil 3*3 = 9 und nich 6 ist. Hätte aber an der Grundaussage nichts geändert. Für die neue Matrix hab ich:



Und das hat auch 3 reelle Nullstellen.
 
 
mr_endres Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist dasselbe wie ich auch hatte. woher weißt du ob die reell sind, oder besser wenn du die NS kennst wie bist du drauf gekommen ???

danke nochmal für eure antworten.

mfg johannes
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen sind nicht sehr schön, eine liegt nahe bei . Man müsste eine Nullstelle raten und dann Polynomdivision machen um ein quadratisches Polynom, welches man lösen kann, zu erhalten. Die Nullstellen sind :

-1,9504438070620436
3,2221164044197774
5,728327402642266

Ich hab das Polynom per Programm lösen lassen, und mir fällt bei diesen Zahlen auch keine wirklich gute Umschreibung als Bruch oder Wurzel ein. Vielleicht sieht ja jemand anderes ob man diese Zahlen besser schreiben kann. Ansonsten müsste man es halt numerisch lösen (newton zum beispiel).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die sind wirklich so eklig, das charakteristische Polynom ist nun mal irreduzibel in . Mit Cardano lassen sich die Nullstellen zwar mit dritten Wurzeln darstellen, aber in sehr länglichen Ausdrücken. Augenzwinkern

Bei einer Schul- bzw. Uniübungsaufgabe könnte man glatt vermuten, es ist noch ein Fehler in der Matrix, da dort ja immer runde Lösungen auftreten. Big Laugh
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