Beweis eines Untervektorraums

Neue Frage »

Gast-Maik Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Untervektorraums
Hallo!

Folgendes Problem:
Im IR³ mit dem Standardskalarprodukt sei U:={x aus IR³ | x1+x2+x3=0}.

Wie kann ich zeigen, dass U ein 2-dimensionaler Untervektorraum ist?
Und wie berechnet man eine Orthonormalbasis zu diesem Untervektorraum?

Danke für die Hilfe!

Gruß, Maik
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Also zuerst solltest du dir überlegen, welche Kriterien für einen Untervektorraum erfüllt sein müssen.

1. ...
2. ...
3. ...

1. ist klar.
2. Hierfür nimmst du zwei beliebige (d.h. allgemeine) Vektoren aus U, z.B v_1 und v_2 und rechnest nach, dass die Bedingung erfüllt ist.
3. Jetzt nimmst du z.B. v aus U und a aus IR und prüfst die Bedingung nach.

Solltest da damit Probleme haben, melde dich wieder.

Gruß
Anirahtak
Gast-Maik Auf diesen Beitrag antworten »
hmm...
Also die 3 Bedingungen sind doch:

- nicht leer: erfüllt, da z.B. (1,-1,0) existiert. richtig?

- Untervektorraum ist Teilmenge des IR³, stimmt auch da o.g. Vektor in beiden Räumen liegt?!

- Abgeschlossenheit:
Aber wie zeige ich, dass zB (a,-a,0) +/* (0,b,-b) wieder im IR² liegt?

Und was ist mit der Orthonormalbasis?

Aber schonmal Danke für die Hilfe!

LG
Dublin_lecturer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: hmm...
Nimm einfach zwei Vektoren x=(x1,x2,x3) und y=(y1,y2,y3) aus U, d.h. x1+x2+x3=0 und y1+y2+y3=0, dann gilt fuer
z=(z1,z2,z3)=x+y:

z1+z2+z3=x1+x2+x3+y1+y2+y3=0,

d.h. z ist wieder in U. Aehnlich gehts mit skalaren Vielfachen, d.h. z=ax mit a aus IR.

Du hast den ersten Schritt zu einer Orthonormalbasis bereits geschafft: Deine beiden Vektoren (a,-a,0) und (0,b,-b) sind nicht kollinear, das heisst du kannst sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren orthonormieren:
Definiere m=(a,-a,0)/|(a,-a,0)|, dann
v=(0,b,-b)-((0,b,-b)*m)m,
und n=v/|v|. Dann sind m und n eine Orthonormalbasis.
Gast-Maik Auf diesen Beitrag antworten »
fast geschafft, aber...
Danke für eure Tipps.

Zur ONB hab ich hier im Lexikon eine schöne Erklärung gefunden:
http://www.matheboard.de/lexikon/Gram-Schmidt,definition.htm

Aber was ich noch benötige ist ja eine beliebige Basis, anscheinend aus U und nicht vom IR³?!
Aber was wäre eine Basis von U? (1,-1,0)? Sicher nicht, oder?!

Für diesen Tipp wäre ich noch dankbar.

Gruß
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Mal angenommen, (1, -1, 0) wäre eine Basis, dann müsste es für alle Vektoren v aus U ein a aus IR geben, mit v=a*(1, -1, 0).

Ich behaupte (0, 1, -1) ist auch aus U und du kannst keine solches a finden.

=> dim(U)>1.

Also brauchst du einen weiteren Basisvektor. Und hierfür eigenet sich jeder Vektor aus U, der zu (1, -1, 0) lin. unabhängig ist.

Na, einen gefunden?

Gruß
Anirahtak
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »