Körper

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Sanne84 Auf diesen Beitrag antworten »
Körper
Hallo!
Ich studiere jetzt im ersten Semeste Mathe... bei den Übungsaufgaben verzweifel ich andauernd...es ist echt frustrierend, wenn man noch nicht einmal einen Ansatz hinbekommt.
Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen:

Sei K ein Körper. Wir nehmen an, es gäbe eine natürliche Zahl n>0 mit der Eigenschaft, dass 1+1+....+1=0
(n-mal 1+1....)
Sei p die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft.
Zeigen Sie, dass p eine Primzahl ist.

Bemerkung: Diese Zahl p wird die Charakteristik von K genannt. Gibt es keine positive Zahl n mit obiger Eigenschaft, so sagt man, K habe Charakteristik Null.


Liebe Grüße
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm an, daß n zerlegbar ist: n=a·b mit natürlichen Zahlen a,b>1.
1+1+1+...+1 (n-mal) kannst du dann so schreiben:

(1+1+1+...+1)·(1+1+1+...+1) (erste Klammer: a-mal, zweite Klammer: b-mal) (Distributivgesetz)

Und ein Körper hat keine Nullteiler.
Sanne84 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
Ich habe noch zwei Fragen:

Was meinst du mit Nullteiler??
Hast du damit jetzt bewiesen, dass p eine Primzahl ist?

Liebe Grüße
Sanne
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nullteiler sind Elemente .
Nimm zum Beispiel den Ring der ganzen Zahlen modulo 6. In ihm gilt, wenn die Zahlen für die zugehörigen Restklassen stehen: . Aber in einem Körper kann das nicht passieren, da ja jedes Element ein eindeutig bestimmes multiplikatives Inverses besitzt.

Bei der konkreten Aufgabe ist es so, daß aus der Annahme, daß keine Primzahl ist, also mit natürlichen Zahlen gilt, nach dem Distributivgesetz folgt:



Hierbei steht für die -fache Summe der , entsprechend die andern.

Und weil nun ein Körper zugrunde liegt, folgt: ...
im Widerspruch dazu, daß n die kleinste Zahl sein sollte mit ...
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