stochastischen Unabhängigkeit bei mehr als zwei Ereignissen

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Austi Auf diesen Beitrag antworten »
stochastischen Unabhängigkeit bei mehr als zwei Ereignissen
Hallo zusammen!

Ich bräuchte nochmal Eure Hilfe... Augenzwinkern Es handelt sich um die Unabhängigkeit bei mehr als zwei Ereignissen!

Zum einen folgende Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiß, wie man vorgehen soll... :

Theodor und Dorothea sind öfters montags krank, und zwar Theodor mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 und Dorothea mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Es kommt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 2/5 vor, dass sie am Montag beide im Unterricht anwesend sind. Man prüfe durch Rechnung, ob die montägliche Erkrankung von Theodor und Dorothea unabhängige Ereignisse sind.

Desweiteren sollen wir den folgenden Satz beweisen:

Sind drei Ereignisse stochastisch unabhängig, so sind auch schon je zwei von ihnen stochastisch unabhängig.

Kleine Zwischeninformation: Bei der stochastischen Unabhängigkeit mit zwei Ereignissen existieren folgende 4 Aussagen/Sätze:

1. A ist unabhängig von B <-> B ist unabhängig von A
2. A ist unabhängig von B <-> A' ist unabhängig von B
3. A ist unabhängig von B <-> A ist unabhängig von B'
4. A ist unabhängig von B <-> A' ist unabhängig von B'

Demnach müssten doch jetzt (unter Betrachtung der stochastischen Unabhängigkeit mit drei Ereignissen) 8 Aussagen/Sätze existieren... oder??

P(A geschnitten B geschnitten C) = P(A)P(B)P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C) = P(A')P(B)P(C)
P(A geschnitten B' geschnitten C) = P(A)P(B')P(C)
P(A geschnitten B geschnitten C') = P(A)P(B)P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C) = P(A')P(B')P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C') = P(A')P(B)P(C')
P(A geschnitten B' geschnitten C') = P(A)P(B')P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C') = P(A')P(B')P(C')

... --> diese Vorgehensweise stimmt doch erstmal ?! Jetzt habe ich nur das Problem, dass ich jede dieser 8 Aussagen/Sätze beweisen muss...

Wenn jemand Zeit und Lust hat, mir zu helfen, würde ich mich sehr freuen.

MfG
Austi
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Austi!

So wie ich das sehe, brauchst Du nur den ersten Satz für zwei statistisch unabhängige Variablen.
Tu doch mal so, als wüstest Du nur die zwei Wahrscheinlichkeiten für das Zuspätkommen von Theodor (p1) und Dorothea (p2). Und dann stell Dir vor, die beiden Ereignisste wären unabhängig. Unter dieser Vorrassetzung kannst Du jetzt ganz leicht die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide gleichzeitig krank sind und daraus kannst Du wieder ausrechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass beide nicht krank sind. Dieses Ergebnis vergleichst Du dann mit der gegebenen Wahrscheinlichkeit für die Anwesenheit beider gleichzeitig. Wenn das selbe rauskäme, wäre die Annahme dass die zwei Ereignisse unabhängig sind offensichtlich wahr, andernfalls ist sie falsch.
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo rad238 !!!

Zunächst mal lieben Dank für Deine Antwort - ich habe jetzt versucht deinen Text umzusetzen...

Theodor = 1/3 --> A
Dorothea = 1/2 --> B

P (A geschnitten B) = P(A) * P(B) = 1/3 * 1/2 = 1/6

Wahrscheinlichkeit, dass beide krank sind: C=1/6

C' = 1 - C = 1 - 1/6 = 5/6

Wahrscheinlichkeit, dass beide nicht krank sind: D=5/6

--> Die in der Aufgabe vorgegebene Wahrscheinlichkeit von 2/5 stimmt nicht mit D=5/6 überein! Somit ist die Behauptung falsch...

Hast Du das so gemeint??

MfG
Austi

P.S. Wer mir ansonsten etwas zu meiner 2. Frage erzählen möchte, ist jederzeit herzlich willkommen Augenzwinkern
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so meinte ich das. Freude
----------------------------------------------------------------------
A, B und C seien statistisch unabhängig. Dann gilt:

P((A<a),(B<b),(C<c)) = P(A<a)*P(B<b)*P(C<c)

ins besondere gilt:

P((A<a),(B<b),(C<unendlich)) = P(A<a)*P(B<b)*P(C<unendlich)

(die Zahl Unendlich gibt es natürlich nicht, dann muss man halt den Limes betrachten)

P((A<a),(B<b),(C<unendlich)) ist ja nicht mehr von c abhängig, also nur noch eine Funktion für a und b.
Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass C kleiner unendlich ist? Und was folgt damit für A und B?

Die Aussage,
"Sind drei Ereignisse stochastisch unabhängig, so sind auch schon je zwei von ihnen stochastisch unabhängig",
lässt dich damit (glaube ich) allgemein beweisen. Allerdings habe ich die Wahrscheinlichkeit vermutlich ein bisschen anders kennen gelernt als Du (mit Zufallsprozessen). Ich hoffe, Du kannst trotzdem was mit dem Beitrag anfangen.
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo rad238!

Danke für Deine Informationen... Allerdings hast du recht - du hast das etwas anders kennen gelernt als ich... So, wie du das z.B. mit dem "<" Zeichen erklärst, kenne ich das gar nicht...

Weiß denn zufällig jemand anders, wie man Folgendes beweist:

A, B, C heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:

P(A geschnitten B geschnitten C) = P(A)P(B)P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C) = P(A')P(B)P(C)
P(A geschnitten B' geschnitten C) = P(A)P(B')P(C)
P(A geschnitten B geschnitten C') = P(A)P(B)P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C) = P(A')P(B')P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C') = P(A')P(B)P(C')
P(A geschnitten B' geschnitten C') = P(A)P(B')P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C') = P(A')P(B')P(C')


Also ich muss jede Gleichung beweisen - habe allerdings von allgemeinen Beweisen nicht wirklich die Ahnung...
Vielleicht kann ja jemand von Euch eins beweisen, dann versuche ich mal das nächste Augenzwinkern ...

Lieben Dank für jede Hilfe

MfG
Austi
gast Auf diesen Beitrag antworten »

das ist komisch sowas musten wir früher inner schule nie beweisen... kann dir deshalb nicht so recht weiterhelfen verwirrt
 
 
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen!

Das Thema mit den Beweisen ist immer noch aktuell... Falls da wie gesagt jemandem etwas zu einfällt, bitte unbedingt melden ... Augenzwinkern

Ich freue mich wirklich über jede Hilfestellung!!

MfG
Austi
slyck Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stochastischen Unabhängigkeit bei mehr als zwei Ereignissen
Wenn ich das richtig verstehe, willst du doch

Zitat:
Original von Austi
Sind drei Ereignisse stochastisch unabhängig, so sind auch schon je zwei von ihnen stochastisch unabhängig.


beweisen, und weißt schon daß

Zitat:

P(A geschnitten B geschnitten C) = P(A)P(B)P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C) = P(A')P(B)P(C)
P(A geschnitten B' geschnitten C) = P(A)P(B')P(C)
P(A geschnitten B geschnitten C') = P(A)P(B)P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C) = P(A')P(B')P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C') = P(A')P(B)P(C')
P(A geschnitten B' geschnitten C') = P(A)P(B')P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C') = P(A')P(B')P(C')

(das ist ja genau die Definition von 3 unabhängigen Ereignissen)

Was du nun beweisen mußt, ist also daß daraus

folgt.

Das ist eigentlich ganz einfach, wenn es dir gelingt durch die oben vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten darzustellen. (kleiner Tip: P(X') = 1 - P(X) und ).

Vielleicht hast du ja jetzt eine Idee?
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

hallo slyck!

Also P (A geschnitten B) = P(A)*P(B) soll ich nicht beweisen! Das wäre ja die Definition für 2 unabhängigen Ereignisse!

Ich soll jeder einzelne dieser 8 Definitionen für 3 unabhängigen Ereignisse beweisen:

P(A geschnitten B geschnitten C) = P(A)P(B)P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C) = P(A')P(B)P(C)
P(A geschnitten B' geschnitten C) = P(A)P(B')P(C)
P(A geschnitten B geschnitten C') = P(A)P(B)P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C) = P(A')P(B')P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C') = P(A')P(B)P(C')
P(A geschnitten B' geschnitten C') = P(A)P(B')P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C') = P(A')P(B')P(C')

Aber schonmal danke für Deine Mühe

Austi
slyck Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du nochmal genau deine Aufgabe aufschreiben?

Oben hast du geschrieben, daß du beweisen willst, daß wenn 3 Ereignisse unabhängig sind, dann auch jeweils 2 von ihnen.

Deine 8 Gleichungen sind genau die Bedingungen, daß 3 Ereignisse unabhängig sind. Die kann man nicht allgemein beweisen (da i.A. 3 Ereignisse nicht unabhängig sind).

Ansonsten habt ihr vielleicht eine andere Definition von Unabhängigkeit kennengelernt?
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von slyck
Deine 8 Gleichungen sind genau die Bedingungen, daß 3 Ereignisse unabhängig sind. Die kann man nicht allgemein beweisen (da i.A. 3 Ereignisse nicht unabhängig sind).


Genau die im oben eingefügtem Zitat beschriebene Thematik sollen wir lösen... aber wenn du sagst, dass das gar nicht geht, werde ich meinen Lehrer mal morgen fragen!!

Ich danke Dir!

Austi
Austi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo slyck!

Du hattest gestern völlig recht! Ich hatte das genauso beweisen müssen, wie du gesagt hast... Habe das dann heute morgen in der Schule erledigt!

Vielen Dank

Austi
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