Schnittpunkt Gerade, Ebene |
| 01.11.2004, 16:10 | Jugster | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Schnittpunkt Gerade, Ebene Gegeben sind folgende Punkte: A(5, 0, 1) B(0, 4, 2) C(0, 0, t) 0 < t < 6 Nun die Aufgabe: 1) Schnittpunkt Gerade AB mit der x1,x2 Ebene berechnen. 2) Abstand d zur x3 Ebene berechnen. 3) Untersuche, für welche zulässigen Werte von t das Dreieck ABC rechtwinklig ist. 4) z.z. : Der Flächeninhalt des Dreiecks ABS ist >=10 (idee habe ich hier folgende: einfach t=0 und t=6 einsetzen, und darüber dann zeigen) Ich weiß das das wohl über ein Gleichungssystem mit der Ebene und der Geraden geht, aber leider weiß ich nichtmal mehr wie ich die Punktform der Geraden entsprechend umforme. ich poste eventuell hier nochmal, falls ich mit den restlichen Aufgaben dann doch nicht klarkomme. Vielen Dank im vorraus an alle, die sich die Mühe machen! |
||
| 01.11.2004, 19:01 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Schnittpunkt Gerade, Ebene ad 3) zwei Vektoren stehen normal aufeinander, wenn ihr skalares Produkt 0 ergibt. 
|
||
| 01.11.2004, 21:12 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Schnittpunkt Gerade, Ebene Um eine Gerade aufstellen zu können, brauchst du einen Punkt, der auf der Gerade oben liegt und den Richtungsvektor und setzt dann in folgende Gleichung ein: X= bekannter Punkt + lambda * Richtungsvektor für eine Ebene brauchst du: einen Punkt, der auf der Ebene oben liegt und den Normalvektor der Ebene und setzt dann in folgende Gleichung ein: z.b. Normalvektor = (1/2/3) und Punkt= (4/5/6) wenn man 2 Vektoren multipliziert, dann kommt eine einzige Zahl heraus und kein neuer Vektor, daher: E: x + 2y + 3z = 1*4 + 2*3 + 3*6 E: x + 2y + 3z = 28 Wenn du nun die Ebene mit der Geraden schneiden willst, dann funktioniert das so: Du suchst ja den einzigen Punkt, den beide gemeinsam haben. Also suchst du den Punkt X, der für die Gerade und für die Ebene die gleichen Koordinaten haben. Daher kannst du gleichsetzen. Das x, y und z in der Ebenengleichung sind die Koordinaten EINES Punktes, der auf der Ebene liegt. Und das X in der Geradengleichung ist ebenfalls ein Punkt (x/y/z), der auf der Gerade liegt. X (Gerade) soll X (Ebene) sein... daher: wenn die Geradengleichung so lautet: dann gilt für die x-Koordinate, für die y-Koordinate und für die z-Koordinate deines gesuchten Punktes: x = 5 - 2*lambda y = 3 - 2*lambda z = -1 + 1*lambda Und das setzt nun für x, y , z in die Ebenengleichung ein, berechnest dir das lambda, setzt es in die Koordinaten deiner Geraden zurück ein und kriegst die Koordinaten deines Schnittpunktes. (5 - 2*lambda) + 2*(3 - 2*lambda) + 3*(-1 + 1*lambda) = 28 usw... Bei deiner Aufgabe sollst du nun die Gerade, die durch die Punkte A und B geht mit der x-y-Ebene schneiden: Gerade aufstellen: Punkt = A oder B (wie du willst) Richtungsvektor = Vektor AB Nun hast alles und deine Geradengleichung lautet: X = A + lambda * Vektor AB die x-y-Ebene: Stell dir eine Ebene wie ein Blatt Papier vor, das sich durch das ganze Universum ausdehnt. Die x-y-Ebene ist nun ein Blatt, auf der die x-Achse und die y-Achse liegt. Das heißt, es ist, wie wenn du das Blatt auf einen ebenen Boden legst. Von dieser Ebene brauchst nun einen Punkt und der ist der Ursprung z.b. oder P( 1/100/0) oder Q (-1/-1/0) es gibt unendlich viele Punkte auf dieser Ebene. Und nun brauchst du noch den Normalvektor dieser Ebene. Der Normalvektor ist der Vektor, der im rechten Winkel auf die Ebene steht. Daher ist die Richtung der z-Achse der Normalvektor deiner x-y-Ebene, weil ja die z-Achse im rechten Winkel auf dein am Boden liegendes Blatt steht. Richtung der z-Achse = (0/0/1) daher lautet die Gleichung der x-y-Ebene: z = 0 dann schneidest die Ebene mit der Geraden Abstand: DAfür gibts die Hesse'sche Normalvektorformformel: und die geht so: d(Abstand) = Bruchstrich machen: im Zähler steht die Abstandsfigur (also die Ebene) in Normalvektorform! und im Nenner der Betrag vom Normalvektor der Ebene für x, y und z im Zähler setzt man die Koordinaten des Abstandpunktes ein. Also die Koordinaten deines Schnittpunktes, den du soeben berechnet hast. Gleichung der x-z-Ebene: y = 0 Betrag eines Vektors ist seine Länge und die berechnet man so: sqrt(x^2 + y^2 + z^2) die x-z-Ebene hat folgenden Normalvektor: (0/1/0) daher: d = (y - 0)/ ( sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2) und für y setzt du die y-Koordinate deines Schnittpunktes ein. d = y/1 d = y falls beim Abstand eine Minuszahl rauskommt, dann sofort Betrag machen, denn es gibt keinen Minusabstand. 3) 2 Vektoren stehen dann im rechten Winkel aufeinander, wenn ihr Produkt 0 ergibt. Vektor a * Vektor b = 0 >> a im rechten Winkel auf b das heißt: Vektor AC * Vektor BC = 0 und dann kannst dir daraus das t berechnen, sodass bei der Gleichung 0 herauskommt. 4) nö...das ist falsch! die Flächenformel eines Dreiecks ist= Seite mal dazugehörige Höhe/2 oder aber auch: A = 1/2 *|( VektorAB x Vektor AC)| Du musst zuerst das Kreuzprodukt vom ungekürzten Vektor AB mit dem ungekürzten Vektor AC machen....dann kommt eigentlich der Normalvekor der Grundfläche des Dreiecks raus. Und wenn du davon den Betrag machst und das duch 2 dividierst, dann ist das der Flächeninhalt jenes Dreiecks, das die 2 Vektoren AB und AC aufspannen. wennst noch Fragen hast, kannst gern fragen lg kiki |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
