injektiv und surjektiv |
| 01.11.2004, 21:57 | Sinchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| injektiv und surjektiv ich sitz mal wieder hier über meinen Matheaufgaben und komme nicht weiter.. Mir sind die Bergiffe "Surjektiv" und "injektiv" noch nicht so geläufig und noch weniger mit dem Begriff "Superposition", das ich hier mal als ein ° darstelle, weil ich kein anderes Zeichen finde.. Folgende 3 Aufgaben bereiten mir Probleme: Beweisen Sie oder widerlegen Sie (Gegenbeispiel), dass für alle Mengen X, Y und Z und alle Abbildungen f: X -> Y und g: Y -> Z die folgenden Behauptungen richtig sind: (a) Wenn f und g injektiv sind, so ist auch g ° f injektiv. (b) Wenn g ° f surjektiv ist, so ist auch g surjektiv. (c) Wenn g ° f und f injektiv sind, so ist auch g injektiv. Kann mir jemand helfen? Dankääääääää :-)) Sinchen |
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| 01.11.2004, 22:03 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: injektiv und surjektiv Was heißt denn injektiv und surjektiv Kannst du es auf deine Mengen allgemein anwenden? |
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| 01.11.2004, 22:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: injektiv und surjektiv hallo sinchen
öhm, den kenne ich auch nicht; also ich kenne das unter dem Begrif der "Komposition" von Abbildungen, das bedeutet einfach die Hintereinanderausführung zweier Abbildungen. den kringel [°] liest man dann "nach" Bsp: f: A -> B; g: B -> C, dann geht g°f: A -> C g°f (x) = g (f(x)), also erst f auf x anwenden und danach dann g auf f(x).
dann wil ich dir das mal in kurzen worten erläutern: injektiv: eine abbildung f: A -> B ist injektiv, wenn jedes Element aus B höchstens von einem Element aus A "getroffen" wird. das heißt f(a1) != f(a2), für a1 und a2 aus A, wenn a1 != a2 also: f injektiv <=> ( aus f(a1) = f(a2) => a1 = a2) surjektivität: eine abbildung f: A -> B heißt surjektiv, wenn jedes Element aus B von mindestens einem Element aus A "getroffen" wird. also: f: A -> B ist surjektiv <=> für alle b aus B existiert ein [nicht ex. genau ein] a aus A mit f(a) = b [damit folgt, das hast sicher auch schon gehört, wenn eine Abbildung sur-und injektiv ist, dann wird jedes Element in der Bildmenge genau einmal getroffen; so eine Abbildung heißt dann "bijektiv"] so, wenn du das weißt, sollte die beweise doch machbar sein oder?! viel erfolg und spaß beim weiteren knobeln, jochen |
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| 02.11.2004, 00:21 | Jochen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo 
Ich möchte auch nochmal kurz auf folgende Einträge in Wikipedia verweisen: (mit Bildchen gleich doppelt so anschaulich 
)Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Als kleiner Tipp: Wenn es um grundlegende Definitionen geht (wie z.B. oben), dann bietet es sich an zuerst Wikipedia zu besuchen und schließlich - sofern erfolglos - unseren Freund Google zu bemühen. Bitte nicht falsch verstehen - wir helfen doch gern! 
Jochen edit: Huch mein Vorredner ist ja auch ein Jochen, total übersehen
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| 02.11.2004, 09:01 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
*zurückwink* |
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| 02.11.2004, 14:25 | Sinchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| manno Danke, danke schon mal für eure liebe Hilfe!! Kann ich sehr gut gebrauchen :-)) Vielleicht darf ich dann noch mal ne Frage loswerden zu einer Aufgabe, die wirklich ganz schrecklich ist - man bedenke, ich bin im 1. Semester Mathestudium und habe vor ca. 3 Wochen erst angefangen..) Folgende Aufgabe: Ist die Abbildung f: R x (R \{0}) -> R x R , die definiert ist durch f(x,y) = (xy, x/y), injektiv oder surjektiv? Leider kann ich nicht mal einen Lösungsansatz oder dergleichen vorstellen, weil ich wirklich keine Ahnung habe, was das überhaupt für eine Abbildung ist und was ich eigentlich machen soll??????? Bin über ne Hilfe sehr, sehr dankbar!!!!!!! Sinchen |
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| 02.11.2004, 14:35 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Abbildung ist so zu verstehen, dass du ein Tupel von Zahlen auf ein neues Tupel abbildest. Das neue Tupel setzt sich aus den Komponenten des ersten Tupels zusammen. Beipspiel: Jetzt bilde mal die Elemente und mit durch die Abbildungsvorschrift ab und mach dir klar, was das Ergebnis für die Injektivität bedeutet. Für Surjektivität sollte man sich fragen, ob sich JEDES Tupel auch durch darstellen lässt. |
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| 02.11.2004, 22:08 | Sinchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn ich das richtig verstehe, dann ist die Abbildung für die Elemente (0,a) und (0,b) bei a ungleich b eine surjektive Abbildung --> richtig?! Für die Elemente (0,0) und (0,0) ist die Abbildung injektiv?! Und für alle anderen Elemente (c,d) und (x,y) dürfte die Abbildung eigenlich weder das eine, noch das andere sein, oder?! Hmm, na hoffentlich hab ich das nicht falsch verstanden.. Sinchen |
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