Nullmengen & Lebesgue

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Wetterfee Auf diesen Beitrag antworten »
Nullmengen & Lebesgue
hallo mathe-profis ..

ich hab da nen paar verstaendnisfragen:

-Ist jede Nullmenge in R^n abzählbar?
-Enthält das Komplement jeder Nullmenge in R^n eine offene Menge ?

und etwas zum lebesgue-intequal

-gilt die gleichung genau dann, wenn f eine stetige Fkt ist ?
. . mit ||f||1 ist die L1 halbnorm gemeint.

-sei f eine integrierbare funktion mit ||f||1=0 . ist dann f identisch 0 ???


vielen dank im voraus für nen paar infos . . .!! Wink
asphys Auf diesen Beitrag antworten »

jeden abzählbare menge ist zwar eine Nullmenge aber es gibt auch überabzählbare Nullmengen (Cantors 1/3 Menge z.B.)
das Komplement enthält immer eine offene Menge
beim Lebesque-Integral muss f immer stetig sein
aber f ist nicht automatisch identisch null wenn ||f||1=0 ist
Wetterfee Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für die exakten antworten . . . Gott




....prosit Prost
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde der Aussage, dass das Komplement einer Nullmenge eine offene Menge enthält, widersprechen, wenn man vom trivialen Fall der leeren Menge absieht.
Betrachte Q, bekanntermaßen Nullmenge, doch das Komplement R\Q enthält, wenn ich keinen Denkfehler begehe, sicher keine offene Menge als Teilmenge (von der leeren Menge wie gesagt abgesehen).
Die Gleichung
ist mir nur als Definition der rechten Seite bekannt und gilt dann auch für alle Lebesgue-integrierbaren Funktionen, also sicher nicht nur für die stetigen Funktionen.
wird übrigens nicht umsonst Halbnorm genannt, es ist nämlich gerade keine Norm, weil aus nicht f=0, sondern nur "f=0 fast überall" folgt.
Definiert man jedoch die Äquivalenzrelation so ist eine Norm auf ihren Äquivalenzklassen (wobei man sich durchaus mal überlegen darf, warum dadurch denn eine Äquivalenzrelation definiert ist).
Wetterfee Auf diesen Beitrag antworten »

...hmm verwirrt

für mich stellt sich nun die frage wer recht hat ?? . . .letzten endes versuch ich mal die begründungen(soweit vorhanden) nachzuvollziehen
---wär schön, wenn jemand da ein machtwort sprechen könnte. ..

danq + gruss Forum Kloppe
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Also eigentlich ist ja klar, dass R\Q keine nichtleere offene Menge enthalten kann, denn das würde bedeuten, dass in einer Umgebung einer gewissen irrationalen Zahl nur irrationale Zahlen enthalten sind, was auf Grund der Tatsache, dass Q dicht in R ist, sicher nicht sein kann. Vielleicht soll man aber gerade den Sonderfall der leeren Menge beachten, die natürlich im Komplement jeder Nullmenge enthalten ist und die trivialerweise auch offen ist, ich weiß es nicht.
Wenn die Aufgabe wirklich genau so lautet, wie du sie wiedergegeben hast, muss man auf Grund der leeren Menge wohl mit "ja" antworten, aber sehr sinnvoll erscheint mir das nicht.
Wie habt ihr die Halbnorm denn definiert? Im Heuser steht zum Beispiel:
Jedem ordnen wir die reelle Zahl
zu.

Die Definition wird also ausdrücklich für alle Lebesgue-integrierbaren Funktionen getroffen und wie du sicher weißt müssen die absolut nicht stetig sein.
Aber vielleicht kann asphys ja nochmal erläutern, wie er zu seinen Aussagen kam.
 
 
asphys Auf diesen Beitrag antworten »

hey erstmal bin ich eine sie unglücklich und die antwort hatte ich mir wie du sagst nur für nullmengen vorgestellt weil das andere nicht von belange war hier; und sorry ich hatte mich verlesen bei deiner aufgabe muss Phillipp auf jeden fall recht geben die funktion f muss bei dieser Norm natürlich nicht stetig sein
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, entschuldige vielmals, irgendwie gehe ich im Internet immer automatisch davon aus, dass ich es mit Jungs zu tun habe. In Zukunft werde ich lieber nochmal nachschauen.
Sind deine Fragen denn dann damit beantwortet, Wetterfee?
Wetterfee Auf diesen Beitrag antworten »

ja, vielen dank . . .war sogar richtig . . .(leere menge sollte auch berücksichtigt werden )


Wink
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