Rekonstruktion mit Integralberechnung

22.03.2007, 15:25

*Mary*

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Rekonstruktion mit Integralberechnung

Hi,

ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.

Wie lautet die Funktionsgleichung einer ganzrat. Fkt. 2. Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft, durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P(2;\frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$ geht und zusammen mit der Abszissenachse eine Fläche von $\begin{eqnarray*} A=\frac{32}{3} FE \end{eqnarray*}$ begrenzt?

Also, folgende Ansätze habe ich bereits gemacht:

1. Da es sich um eine Fkt. 2. Grades handelt, die achsensymmetrisch zur Ordinate ist, sind nur gerade Exponenten vorhanden.

2. Den Punkt P setze ich in die Normalfkt. ein.

Daraus ergibt sich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(x)= a_2x^{2} + a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2a_2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)= 2a_2 \end{eqnarray*}$

Meine erste Gleichung, die ich später zur Rekonstruktion brauche, heißt:
$\begin{eqnarray*} f(2)=\frac{3}{2} = 4a_2+ a_0 \end{eqnarray*}$

Wie geht's aber jetzt weiter?

22.03.2007, 15:31

tigerbine

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RE: Rekonstruktion mit Integralberechnung
1. GRF - zweiter Grad:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

2. Symmtetrisch zur y-Achse:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_2x^2+a_0 \end{eqnarray*}$

3. Durch den Punkt P(2; 2/3)

$\begin{eqnarray*} f(2) = a_2\cdot 2^2 +a_0 = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

4. Integral zwischen den Nullstellen :

$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2}~f(x) ~dx = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

Mit 3. kannst du 2. in Abhängigkeit von einer Variable bestimmen. Von dieser hängen dann auch die Nullstellen ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.03.2007, 15:35

*Mary*

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Sorry, das versteh ich im Moment nicht.

22.03.2007, 15:48

tigerbine

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3. $\begin{eqnarray*} f(2) = a_2\cdot 2^2 +a_0 = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a_2 +a_0 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow a_0=\frac{2}{3} - 4a_2 \end{eqnarray*}$

2. Einsetzen

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_2x^2+\frac{2}{3} - 4a_2=a_2(x^2-4)+\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Nullstellen berechnen:

$\begin{eqnarray*} a_2(x^2-4)+\frac{2}{3} = 0 \Rightarrow a_2 \neq 0 \text{ Sonst keine eing. Fläche} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = 4-\frac{2}{3a_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm \sqrt{4-\frac{2}{3a_2}} \end{eqnarray*}$

22.03.2007, 16:09

*Mary*

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Und jetzt setze ich die Nullstellen in die Fkt. ein und erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{4a_2 - } \frac{3}{2} ) = a_2(\sqrt{4a_2 - } \frac{3}{2} ) + a_0 = 0 \end{eqnarray*}$

Oder kann ich die Nullstellen als obere und untere Grenze einsetzen?

22.03.2007, 16:11

tigerbine

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Die Frage dürfte sich durch die Notation von selbst beantworten Augenzwinkern

Augenzwinkern

4. Integral zwischen den Nullstellen :

$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2}~f(x) ~dx = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm \sqrt{4a_2-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

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22.03.2007, 16:27

*Mary*

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Ok, ich setze die Nullstellen in die obere und in die untere Grenze ein.

Leider komme ich aber da durcheinander... unglücklich

unglücklich

22.03.2007, 16:29

tigerbine

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Dann fang eben mal langsam an. und schreib es Zeile für Zeile auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.03.2007, 16:40

*Mary*

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$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{4a_2-\frac{3}{2}}}^{\sqrt{4a_2-\frac{3}{2}}}~(a_2x^2 + a_0)~dx = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{3}a_2x^3 + a_0x]_{b}^a \end{eqnarray*}$

22.03.2007, 16:43

tigerbine

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Freude

Und weiter.

Du solltest aber f in der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = a_2x^2+\frac{2}{3} - 4a_2 \end{eqnarray*}$ verwenden.

22.03.2007, 16:46

*Mary*

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$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{3}a_2(-\sqrt{4a_2-\frac{3}{2}})^3 + a_0(-\sqrt{4a_2-\frac{3}{2}})] - [\frac{1}{3}a_2(\sqrt{4a_2-\frac{3}{2}})^3 + a_0(\sqrt{4a_2-\frac{3}{2}})] \end{eqnarray*}$

Ab hier sehe ich chinesische Buchstaben...

22.03.2007, 16:55

*Mary*

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Zitat:

Original von tigerbine
Freude

Freude

Und weiter.

Du solltest aber f in der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = a_2x^2+\frac{2}{3} - 4a_2 \end{eqnarray*}$ verwenden.

Ach so, na dann so...

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{3}a_2(-\sqrt{4a_2-\frac{3}{2} })^3+\frac{3}{2} (-\sqrt{4a_2-\frac{3}{2} })-4a_2( -\sqrt{4a_2-\frac{3}{2} }) ]- [\frac{1}{3}a_2(\sqrt{4a_2-\frac{3}{2} })^3+\frac{3}{2} (\sqrt{4a_2-\frac{3}{2} })-4a_2( \sqrt{4a_2-\frac{3}{2} }) ] \end{eqnarray*}$

22.03.2007, 17:00

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2}~f(x) ~dx = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2}~a_2x^2+\frac{2}{3} - 4a_2 ~dx = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 \cdot \int_{x_1}^{x_2} x^2 ~ dx+ (\frac{2}{3} - 4a_2)\cdot \int_{x_1}^{x_2} 1 ~ dx = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2\cdot [\frac{1}{3}x^3]_{x_1}^{x_2} + (\frac{2}{3} - 4a_2)\cdot [x]_{x_1}^{x_2} =\frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2\cdot \frac{1}{3} [x_2^3-x_1^3] +(\frac{2}{3} - 4a_2)\cdot [x_2 -x_1] = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist da ja noch die Symmetrie $\begin{eqnarray*} x_1 = -x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2\cdot \frac{1}{3}\cdot 2 \cdot x_2^3 +(\frac{2}{3} - 4a_2)\cdot 2 \cdot x_2 = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2\cdot \frac{2}{3} \cdot x_2^3 +(\frac{4}{3} - 8a_2)\cdot x_2 = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt einsetzen.

22.03.2007, 17:07

*Mary*

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Mein Punkt geht doch durch P(2;3/2) und nicht 2/3.

22.03.2007, 17:12

*Mary*

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}a_2(-\sqrt{4a_2-\frac{3}{2} })^3 + (3-8a_2)(-\sqrt{4a_2-\frac{3}{2} })= \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

22.03.2007, 17:27

tigerbine

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Sorry, das habe ich falsch abgeschrieben...Außerdem einmal nicht durch a_2 geteilt...Also nochmal...
*********************************************
1. GRF - zweiter Grad:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

2. Symmtetrisch zur y-Achse:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_2x^2+a_0 \end{eqnarray*}$

3. Durch den Punkt P(2; 3/2)

$\begin{eqnarray*} f(2) = a_2\cdot 2^2 +a_0 = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a_2 + a_0 = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{3}{2} - 4a_2 \end{eqnarray*}$

Damit erhalten wir für die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_2x^2+(\frac{3}{2} - 4a_2) = \end{eqnarray*}$

Sie soll die x-Achse in 2 Nullstellen schneiden. Entsprechende Bedingungen sind für a_2 festzulegen, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} a_2x^2+(\frac{3}{2} - 4a_2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2x^2 = 4a_2 - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = 4 - \frac{3}{2a_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm \sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}} \end{eqnarray*}$

4. Integral zwischen den Nullstellen :

$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2}~f(x) ~dx = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

Schreiben wir erstmal das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2}~f(x) ~dx = \int_{x_1}^{x_2}~a_2x^2+(\frac{3}{2} - 4a_2) ~dx = a_2 \int_{x_1}^{x_2} x^2 dx+(\frac{3}{2} - 4a_2) \int_{x_1}^{x_2} 1 dx = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 \cdot [\frac{1}{3}x^3]_{x_1}^{x_2} +(\frac{3}{2} - 4a_2) \cdot [x]_{x_1}^{x_2} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot a_2 \cdot [2x_2^3] + (\frac{3}{2} - 4a_2) \cdot [2x_2] \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \cdot a_2 \cdot (\sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}})^3 + 2(\frac{3}{2} - 4a_2) \cdot (\sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}}) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \cdot a_2 \cdot (4 - \frac{3}{2a_2}) \cdot (\sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}}) + (3-8a_2)\cdot (\sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}}) = \end{eqnarray*}$

so ich schreib mal hier drinne weiter. Die 3er Potenz hatte ich mit Absicht in 2 und 1 aufgeteilt: Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} [\frac{2}{3} \cdot a_2 \cdot (4 - \frac{3}{2a_2}) +(3-8a_2) ]\cdot \sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\frac{8}{3}\cdot a_2 - 1 + 3 - 8a_2]\cdot \sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [2-\frac{16}{3}\cdot a_2]\cdot \sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}} = \end{eqnarray*}$

22.03.2007, 17:32

*Mary*

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Au weia, erst mal Hut ab! Freude

Freude

Kann ich denn die jetzt erhaltene Fkt.gleichung für die Rekonstruktion benutzen, oder muss ich noch was zusammenfassen?

Sorry, wenn es um Wurzeln geht, fällt's mir schwer...

22.03.2007, 17:44

tigerbine

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Sorry, bin parallel noch beschäftigt. Ich rechne das jetzt mal fertig und melde mich dann mit einem Guide durch den Wurzelwald Wink

Wink

22.03.2007, 18:50

tigerbine

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Ich habe dir mehr wie üblich geschrieben, da ich nabenbei noch was anderes machen muss und sonst den Überblick verliere. Bitte rechne das nach, frag welche Schritte Du nicht verstehst und beantworte die Frage am Ende.

Gruß,
tigerbine Wink

Wink

So, oben steht es jetzt noch einen Schritt weiter... Dann müssen wir die Gleichung also lösen...

$\begin{eqnarray*} [2-\frac{16}{3}\cdot a_2]\cdot \sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}} = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

Umstellen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}} = \frac{32}{3(2-\frac{16}{3}\cdot a_2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{8a_2 -3}{2a_2}} = \frac{32}{6-16 \cdot a_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{8a_2-3}{2a_2}} = \frac{16}{3-8\cdot a_2} \end{eqnarray*}$

Quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{8a_2-3}{2a_2} = \frac{256}{(3-8\cdot a_2)^2} \end{eqnarray*}$

Brüche Auflösen:

$\begin{eqnarray*} (8a_2-3) \cdot (3-8\cdot a_2)^2 = 512a_2 \end{eqnarray*}$

Umstellen und ausmultiplizieren:

...

$\begin{eqnarray*} 512a_2^3-576a_2^2-296a_2-27=0 \end{eqnarray*}$

Nullstellen berechnen:

$\begin{eqnarray*} (8a_2+1)\cdot (64a_2^2-80a_2-27) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{21} = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{22,23} = \frac{80 \pm \sqrt{80^2+6912}}{128} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{22,23} = \frac{80 \pm \sqrt{13312}}{128} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{22} \approx 1.5264 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{23} \approx -0.2764 \end{eqnarray*}$

Das macht 3 Funktionen als mögliche Kandidaten.

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = \frac{1}{8}x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = 1.5264x^2-4.6056 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_3(x) = -0.2764x^2+2.6056 \end{eqnarray*}$

Welche ist nun die Richtige?

22.03.2007, 19:14

*Mary*

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f_1(x) schon gar nicht, weil keine NS da sind.

Meiner Meinung nach kann keine dieser Funktionen richtig sein, da die angegebenen Nullstellen a_22 und a_23 die obere und untere Grenze darstellen.

Nach meinen Berechnungen erhalte ich aber nicht 32/3. unglücklich

unglücklich

22.03.2007, 19:16

tigerbine

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Hä? die a's sind doch nicht die Nullstellen...

Eine der Funktionen ist richtig. Bitte vergleiche für die Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm \sqrt{4 - \frac{3}{2a_2}} \end{eqnarray*}$

22.03.2007, 19:22

*Mary*

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f_2(x) ist richtig

22.03.2007, 19:27

tigerbine

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Da würde ich nochmal nachrechnen.

22.03.2007, 19:33

*Mary*

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Ich verstehe das einfach nicht... unglücklich

unglücklich

f_1(x) kann doch überhaupt nicht stimmen, da sie keine Nullstellen hat.

Und bei f_3(x) kriege ich nichts Vernünftiges heraus.

Wie soll man eigentlich denn die jetzt erhaltenen Nullstellen anwenden, da ja noch a_2 unbekannt ist?

traurig

traurig

22.03.2007, 19:59

tigerbine

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Unbekannt ist jetzt gar nichts mehr. Ein blick in den Plot der Funktionen gibt uns schon eine Vermutung, welche Funktion die richtige ist.

Funktion 1: Hat keine Nullstellen unglücklich

unglücklich

Funktion 2: Ihre mit der x-Achse eingeschlossene Fläche liegt unterhalb der x-Achse. Daher hat das Integral einen negativen Wert. unglücklich

unglücklich

Funktion 3: Hat Nullstellen und eingeschlossene Fläche liegt oberhalb der x-Achse Freude

Freude

Zur Rechnung:

$\begin{eqnarray*} a_{2} = \frac{80 - \sqrt{13312}}{128} \approx -0.2764 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{3}{2} - 4\cdot a_2 \approx 2.6056 \end{eqnarray*}$

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_1 = -\sqrt{4-\frac{3}{2a_2}} \approx - 3.070 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 =\sqrt{4-\frac{3}{2a_2}} \approx 3.070 \end{eqnarray*}$

Nun zum Integral. Das hatten wir ja schon in einer handlichen Nullstellen-Form.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot a_2 \cdot [2x_2^3] + (\frac{3}{2} - 4a_2) \cdot [2x_2] \approx \frac{1}{3}\cdot (-0.2764) \cdot [2(3.070)^3] + (\frac{3}{2} - 4(-0.2764)) \cdot [2(3.070)] \approx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5.0925 + 16.0000 \approx 10.90 \end{eqnarray*}$

Exakte Rechnung - deine Aufgabe - liefert 10.666...

22.03.2007, 20:28

*Mary*

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Ok, also erstmal 1000 Dank an dich, dass du dir soviel Mühe gemacht hast, mir zu helfen. Das war wirklich sehr nett. Mir ist jetzt auf jedenfall einiges klarer geworden.

Die Aufgabe muss ich aber trotzdem nochmal rechnen. Ich hoffe, dass ich dann endlich 100%ig durchblicke.

DANKESCHÖN und ciao!
Wink

Wink

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