W-keit für Hinrichtung

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Janina N. Auf diesen Beitrag antworten »
W-keit für Hinrichtung
Hallo,

habe hier noch mal eine Stochastik Aufgabe, mit der ich nicht weiter komme.
Sie lautet:

Von drei zum Toder verurteilten Gefangenen soll einer begnadigt werden, was er jedoch erst am Tag der Hinrichtung der beiden anderen erfahren soll. Bekanntlich weiß aber der Wärter schon am Vorabend, wer begnadigt wird.
Einer der Gefangenen glaubte, die W-keit, dass er begnadigt wird von 1/3 auf 1/2 verbessern zu können, indem er den Wärter fragte: "Wer von den beiden anderen wird denn hingerichtet?" Der Wärter nennt daraufhin einen der beiden anderen Gefangenen.
Hat der Fragesteller in dem Fall, sein Ziel erreicht, wenn wir annehmen, dass der Wärter in dem Fall, dass der Fragesteller wir der Fragesteller tatsächlich begnadigt wird, keinen der beiden anderen Gefangenen bevorzugt benennt?


Also wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, heißt das doch,, dass wir folgendes annehmen:
Wenn der Fragesteller selbst begnadigt werden soll, nennt der Wärter ihm keinen Namen...
Da der Wärter ihm aber einen Namen genannt hat, müssen wir ja dann davon ausgehen, dass der Fragesteller nicht begnadigt wird und somit hätte er seine Chance begnadigt zu werden nicht verbessert, sonder auf 0 reduziert.

Macht aber keinen Sinn so, weiß nicht, wie ich die Aufgabe anders verstehen soll-bitte helft mir! Hilfe
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch als das Ziegenproblem bekannt, nur etwas anders formuliert. Schau mal unter Ziegenproblem-Variante.

Gruß vom Ben
Janina N. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ben,

vielen Dank für die antwort.
Für mich heißt dann also, dass der fragesteller seine eigene Chance nicht verbessert hat. Dafür hat sich dann aber die Chance für den anderen, dessen Name nicht genannt wurde auf 2/3 erhöht, ja? Tanzen
jama Auf diesen Beitrag antworten »

hallo janina,

habe mir den link von ben zwar nicht genauer angeschaut, schätze aber mal nicht, dass sich die chancen des anderen erhöht haben.. der andere ist ja in genau derselben situation. seine chance müsste ebenfalls bei 1/3 liegen.

gruß,

jama
SRK Auf diesen Beitrag antworten »

da es hier noch keine endgültige Antwort gibt, möchte ich mal meine Theorie dazu vorführen:

vor der Frage lag die Wahrscheinlichkeit zu überleben bei 1/3, die zu sterben bei 2/3.

Nun weiß man den Namen von einem der Gefangenen denn es erwischen soll. Bei ihm ist es nun sicher, man schaut sich nur noch die anderen an. Man weiß dass es noch einen von ihnen an den Kragen soll, also liegt die Wahrscheinlichkeit für jeden von ihnen bei 50% (1/2).

Oder übersehe ich da was?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist falsch. Obwohl es in den diversen Ziegenproblem-Threads schon zigmal erklärt wurde, mache ich hier einen neuen Versuch - auch weil die Situation hier wegen fehlender Einflussnahme der Gefangenen (z.B. Erschleichung der Begnadigung durch Zellenwechsel Augenzwinkern - das würde dem Ziegenproblem eher entsprechen) etwas anders ist.

Sagen wir mal, Gefangener Nr.3 fragt den Wärter. Es gibt 3 Hauptfälle, und in einem davon zwei Unterfälle:


Fall 1: Nr.1 wird begnadigt, mit Wahrscheinlichkeit 1/3.

Dann zeigt der Wärter auf Zelle 2, und Nr.2 und 3 werden hingerichtet.


Fall 2: Nr.2 wird begnadigt, mit Wahrscheinlichkeit 1/3.

Dann zeigt der Wärter auf Zelle 1, und Nr.1 und 3 werden hingerichtet.


Fall 3: Nr.3 wird begnadigt, mit Wahrscheinlichkeit 1/3.

Jetzt hat der Wärter die Wahl, auf welche Zelle er zeigen soll. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass er dann keine bevorzugt, d.h., jede der beiden Zellen 1 und 2 mit 50% Wahrscheinlichkeit nennen kann. Egal, wohin er zeigt, Nr.1 und 2 werden hingerichtet.

Fall 3.1: Nr.3 wird begnadigt, Wärter zeigt auf Zelle 1, mit Wahrscheinlichkeit 1/6.

Fall 3.2: Nr.3 wird begnadigt, Wärter zeigt auf Zelle 2, mit Wahrscheinlichkeit 1/6.

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So, und nun haben wir die Situation, dass der Wärter auf eine Zelle zeigt, o.B.d.A. auf Zelle 1. Dann wissen wir nach obiger Aufstellung, dass entweder Fall 2 oder Fall 3.1 eingetreten sein muss. Beide zusammen repräsentieren eine Wahrscheinlichkeit von 1/3+1/6 = 1/2.

Die Wahrscheinlichkeit einer Begnadigung nach Befragung des Wächters entspricht nun einer bedingten Wahrscheinlichkeit , und zwar unter der Bedingung dass Fall 2 oder 3.1 eingetreten ist. Und da wird eben Nr.3 nur im Fall 3.1 begnadigt, und zwar mit der bedingten Wahrscheinlichkeit (1/6)/(1/2) = 1/3, Nr.2 hingegen wird mit Wahrscheinlichkeit (1/3)/(1/2) = 2/3 begnadigt,


Zeigt der Wärter auf Zelle 2, dann haben wir das gleiche Spiel mit den Fällen 1 und 3.2. Dann wird Nr.3 mit Wahrscheinlichkeit 1/3 begnadigt, und Nr.1 mit 2/3.


Die Befragung des Wärters erbringt hinsichtlich seiner eigenen Chancen also keinen Informationsgewinn für Nr.3.
 
 
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