Beweis in Matrix

02.11.2004, 20:44

Mathe_Null

Beweis in Matrix

Hallo!

Wer kann mir bei folgender Aufgabe einen Tipp bezüglich des Beweises geben? Wäre supi, wenn da jemand was wüsste, ich weiß nämlich nix ;-)

Aufgabe:

Sei A eine m x m Matrix über Körper K. Zeigen Sie: Wenn A die Kästchengestalt

B C

0^n'xn B'

besitzt, für gewisse Untermatrizen B Elemnt einer n x n Matrix über K, B' Elemebalpha b'nt einer ^n' x n' Matrix, C Element einer n x n' Matrix mit n + n' = m, dann ist alpha a ein Teiler von alpha a'

Über einen großen Denkanstoß würde ich mich echt freuen.

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Cogito, ergo sum ...

02.11.2004, 20:50

Mathe_Null

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Verbesserung des Textes:

..., für gewisse Untermatrizen B Element einer n x n Matrix über Körper K, B' Element einer n' x n' Matrix über Körper K, C Element einer n x n' Matrix mit n + n' = m, dann ist alpha x ein Teiler von alphaBalphaB'

03.11.2004, 02:21

pumuckl

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1) was meinst du mit "Kästchengestalt BC ?"

2) was bedeutet

Zitat:

0^n'xn B'

3) was meinst du mit alphaBalphaB' ? welches Alpha meinst du?

soweit ich das verstanden hab gehts hier um Matrizen
$\begin{eqnarray*} A \in K^{m \times m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B \in K^{n \times n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B^{\prime} \in K^{n^{\prime} \times n^{\prime}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C \in K^{n \times n^{\prime}} \end{eqnarray*}$

woher das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kommt und was es damit zu tun hat ist etwas unverständlich. Versuchs mal mit der Latex-umgebung, wie z.B. die oben gezeigten Dinge beschrieben werden siehst du, wenn du dieses Posting zitierst *fg*

03.11.2004, 07:51

Mathe_Null

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Hallo!

Kästcehngestalt meint eine Matrix mit vier Kästchen, also links oben B, rechts oben C, links unten eine Mullmatrix (n' Kreuz n) und rechts unten eine B' Matrix.

Dieses Alpha ist als Index der kleinen a bzw. b aufzufassen. Meint also a mit Index alpha, bmit Index alpha und b' mit Index Alpha

Liebe Grüße

03.11.2004, 13:41

pumuckl

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Hm deine Aufgabe lautet also:

$\begin{eqnarray*} \mbox{Sei } A \in K^{m \times m}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} B&C \\0&B^{\prime} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B \in K^{n \times n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B^{\prime} \in K^{n^{\prime} \times n^{\prime}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C \in K^{n \times n^{\prime}}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mbox{dann ist }\alpha x \mbox{ ein Teiler von }\alpha B \cdot \alpha B^{\prime} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mbox{und }\alpha \mbox{ soll ein Index sein von }a, b, b^{\prime} \end{eqnarray*}$

nenn mich blöd und merkbefreit - aber was meinst du jetzt auf einmal mit a,b,b'? die Matrixelemente? die haben aber eigentlich je zwei Indizes. Mal ganz davon abgesehen dass Alpha dann kein fester Wert wäre und die Aussage keinen Sinn ergibt in meinen Augen.

Was ich auch noch nicht verstehe: was ist x?

03.11.2004, 23:19

Mathe_Null

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Hallo nochmal!

Also, die Aufgabe war auch auf dem Blatt ziemlich unklar formuliert. Gemeint hat der Prof jedenfalls folgendes (zumindest wurde das heute so verbessert):

... dann ist alpha(mit Index A) ein Teiler von alpha(mit Index B)alpha(mit Index B')

Weitere Ergänzung und Hilfe: Wie sehen die vier Untermatrizen ( n Kreuz n, n Kreuz n', n' Kreuz n und n' Kreuz n') von alpha(Index B) (A) und alpha(Index B') (A) aus?

Grüße,

Mathe_Null

04.11.2004, 07:37

pumuckl

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hm noch schöner *lach* jetzt haben wir irgendein Alpha mit Matrizen verschiedenen Typs als Indizes??? also $\begin{eqnarray*} \alpha_A \end{eqnarray*}$ usw. ja? Sorry, ich muss passen, sowas ist mir in 3 Jahren Mathe und Physikstudium leider noch nicht untergekommen. Hat jemand der echten Könner hier ne Idee was mit der Aufgabe gemeint ist?

/edit: moooment. so wie du da was geschrieben hast, könnte es sich beim Alpha um ne Abbildung handeln.

Also sowas wie $\begin{eqnarray*} \alpha_A(A) \end{eqnarray*}$ habt ihr irgendwann mal so eine Abbildung beschrieben bekommen? so wie damit hantiert wird, Bildet man da ne Matrix entweder auf ein Körperelement ab (dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha_B \alpha_{B^{\prime}} \end{eqnarray*}$ einfach ne Multiplikation der Ergebnisse, oder sie bildet ne Matrix auf ne Matrix ab, dann ists ne Hintereinanderausführung. Der Index scheint dann anzudeuten dass die entsprechende Matrix die Charakteristiken der Abbildung festelgt oder sowas... schau doch mal bitte nach wenn ich recht hab, was mit dem ominösen Alpha gemeint ist Augenzwinkern

04.11.2004, 08:05

Mathe_Null

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Hallo!

Habe eben noch mal meine Vorlesungmitschriebe durchgesehen und bin dabei auf folgendes gestoßen:

...das normierte Polynom mit alpha(IndexA) mit: {p Element K[t]p(A)=0}=K[t]alpha(Index alphaA).

Dann müsste man sich vielleicht irgendwie mal das charakteristische Polynom anschauen, oder?!

Grüße

04.11.2004, 20:29

FiiRe

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also diese Abbildung von der du da redest soll das Minimalpolynom der Untermatrtzen dieser BlockMatrix sein...

cu FiiRe

05.11.2004, 00:05

Mathe_Null

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Hm...und wie soll das jetzt genau aussehen? Bin heute nämlich schon einige Zeit vor der Aufgabe gesessen und habe nur Struz gerechnet....

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