Abbildungen beweisen |
| 03.11.2004, 10:00 | KatMat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Abbildungen beweisen hier mein Problem, ich weiß zwar um was es geht, aber nicht wie ich es beweisen sollte? gegeben: f : M --> N eine Abbildung Zeige: A c M, A c f hoch -1 (f(A)), B c M, f(f hoch -1 (B)) c B habe leider überhaupt keinen Ansatz, bitte um Eure Hilfe. Danke. KatMat |
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| 03.11.2004, 11:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hi katmat, ordne bitte erst mal deine gedanken. also klar f: M->N Abbildung aber du sagst überhaupt nicht was A, B sind! oder ist deine Aufgabe so zu verstehen (sehr wahrscheinlich): zeige: A c M => A c f^-1(f(A)) [mit einem Folgepfeil] und zeige: B c N [muss wohl N heißen, sonst sehe ich den Sinn nicht] => f(f^-1(B)) c B dann ist die aufgabe nicht schwer und du musst einfach folgendes zeigen: eine Menge X ist genau dann TM einer Menge Y, wenn für alle x in X gilt: x liegt in Y. kriegst du das hin? viel Spaß beim knobeln, Jochen |
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| 03.11.2004, 11:43 | KatMat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Jochen, ja, es ist genauso wie Du vermutet hattest! Sorry, hatte mich leider vertippt. 
Aber ich schaffs irgendwie trotzdem nicht das zu beweisen 
Könntest Du mir bitte noch ein bißchen konkreter helfen? Dann könnte ich vielleicht auch die ganzen anderen Aufgaben zu diesem Thema verstehen. 
Vielen Dank. Katmat |
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| 03.11.2004, 18:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
klar ich werde mal konkreter und ich werde mal die a) größtenteils machen; also du willst zeigen das A c f^-1 ( f(A)) ist; dabei ist f(A) das BILD von ganz A, also f(A) = {y| existiert x in A mit f(x) = y} f^-1(f(A)) ist dann das URBILD von der Menge f(A). Achtung: f(A) c N; und es gilt auch, wenn f:N->M: f(N) c M soweit hoffentlich klar. dann legen wir mal los; wie gesagt du nimmst ein beliebiges Element aus der "linken Menge" und zeigst, dass das in der "rechten Menge" liegt. dann gilt "links" TM "rechts", denn genau das ist die teilmengenbedingung. also sei x aus A => ..... => x liegt im Urbild (Bild(A)) das wolen wir zeigen, okay? x aus A => f(x):= y liegt in N [denn AcM und f ist für m definiert, also auch für A] => existiert y in N f(x)=y => x liegt in f^-1 ({y}) [das ist die Urbildmenge von der Menge {y}, also alle z aus M, die auf y abgebildet werden] => ....... okay jetzt lass uns kurz nachdenken; y liegt in f(A), somit ist f^-1({y}) c f^-1(A), denn wenn du es aufschreibst kannst du es sofort sehen: f^-1({y}) = { x | x wird auf y abgebildet} f^-1(f(A)) = { x | x wird auf f(A) abgebildet} = { x | x wird auf y abgebildet} vereinigt { x | x wird auf f(A)\{y} abgebildet} okay? also ist f^-1({y}) TM von f^-1(f(A)) dann gilt aber, das alle elemente aus f^-1({y}) auch in f^-1(f(A)) liegen (Teilmengendefinition). also setzen wir unseren beweis fort: ......... x liegt in f^-1 ({y}) => x liegt in f^-1(f(A)). und genau das war zu zeigen. ich hoffe jetzt nur, ich habe mich nicht irgendwo verschrieben (kann schnell mal passieren, besonders wenn man müde ist), also versuch mal in aller Ruhe den beweis nachzuvollziehen und dann den 2. teil zu machen. jetzt habe ich nur noch eine sache anzumerken, falls du jetzt denkst, dass sogar A= f^-1(f(A)) gilt, dann lass dir sagen: DAS IST IM ALLGEMEINEN FALSCH. Beispiel: f(x) = x² über den reellen Zahlen. A = {1,2,3}; => f(A) = {1,4,9} => f^-1(A) = {1,-1,2,-2,3,-3} != A (!!), denn auch -1 wird in f(A) abgebildet...... [natürlich hätte da auch nur A={1} gereicht, aber ich wollte dir die Bildmenge noch einmal an einem konkreten beispiel verdeutlichen] MFG jochen |
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| 03.11.2004, 19:15 | KatMat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also das mit Bild und Urbild habe ich verstanden, und das ich jetzt zeigen muss, dass ein x aus A auch in f^-1(f(A)) sein muss habe ich auch verstanden. 
Jetzt werd ich mich mal in Ruhe an den Beweis wagen. Ich melde mich auf alle Fälle nochmal, ob ichs gepackt habe. Vielen Dank schon mal für Deine Hilfe. 
Katmat |
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| 03.11.2004, 19:26 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, tu das und poste doch auch mal die lösung von dem anderen aufgabenteil, wenn du sei dann gefunden hast. das ist sicher von allgemeinem interesse..... |
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| 03.11.2004, 21:37 | MaggotManson | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moin Ich möchte gerne wissen, ob man die Aufgabe B c N => f(f^-1(B)) c B auf folgende Art lösen kann. Man muss ja zeigen, dass alle Elemente von f(f-^1(B)) auch in B sind. Man nimmt sich also ein y Element f(f-^1(B)): y Element f(f-^1(B)) => Es existiert x Element f^-1(B) mit f(x) = y => Es existiert f(x) Element B => y Element B y Element f(f-^1(B)) => y Element B => f(f-^1(B)) c B Ist das so halbwegs in Ordnung oder doch eher ein Beispiel, wie man es nicht machen sollte/darf? Danke für eine Antwort. |
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| 03.11.2004, 22:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
tachchen MaggotManson, so langsam werde ich müde (*gähn*) und ich hoffe, ich poste jetzt nicht totalen müll.... aber deine frage will ich noch beantworten... also dein grundgedanke ist auf jeden fall genau richtig. y Element f(f-^1(B)) => Es existiert x Element f^-1(B) mit f(x) = y =>... [genau, weil zudem B eine TM von N ist...] jetzt denken wir nach: f^-1(B) = { y | existiert z in B mit f(y) = z} also folgt: ...=> es existiert z in B mit f(x) = z => f(x)=z und f(x) = y, also y=z => y liegt in B dein ansatz war also ziemlich gut, mir missfällt nur die Ausdrucksweise:
würde ich eher durch "f(x) liegt in B" ersetzen, denn du ja sagst x liegt im Urbild von B, also liegt sein Funktionswert in B. So, aber irgendwie kommt mir das jetzt gerade seltsam trivial vor, ich hoffe, ich habe da wirklich nichts falsches erzählt. Wäre das nicht mal Aufgabe unseres neuen Experten KatMat, meinen [und MaggotMansons] Beweis nachzuprüfen? *g* also gute Nacht und frohe Ostern 1683, jochen |
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| 03.11.2004, 22:41 | MaggotManson | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x oder y
Hm, ich weiß nicht, entweder du hast die fett gedruckten y mit x verwechselt, oder ich versteh es nicht so ganz. y ist doch in der Menge N, die Abbildung f bildet aber von M nach N ab, dann kann man doch eigentlich nicht f(y) bilden, oder [wenn y in N]? Außerdem wüsste ich dann auch nicht, wie man auf es existiert z in B mit f(x) = z kommt. Ich will da jetzt nicht auf einem vermeintlichen Tippfehler herumreiten, ich möchte nur gern sicher gehen.
So, mit dieser Frage verabschiede ich mich wohl auch erstmal. Gute Nacht |
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| 04.11.2004, 08:15 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
öhm, das ist doch nur eine Definition für die Urbildmenge von B. in f^-1(B) liegen alle werte, für die eben ein element in B auf diesen wert abgebildet wird bzgl. der entsprechenden funktion. ich wollte dich damit nicht verwirren, aber der variablenname ist hier natürlich egal. f^-1(B) = { x | existiert z in B mit f(x) = z} ist doch genau die gleiche aussage, menge aller x für die gilt..... okay? dieses y hat nichts mit dem anderen y zu tun; also an dieser stelle ist der variablenname vielleicht wirklich ungeschickt gewählt, mea culpo. zumindest weiß ich jetzt auch, wieso dieser teil einfacher ist, denn jedem wert aus dem urbild wird ja nur ein wert aus dem bild zugeordnet (Definition Funktion...), während den bildern evtl. mehrere Urbilder zugeordnet werden können [vgl. obiger beitrag]. für alle Interessierten, warum dann nicht BcN => f(f^-1(B)) = B gilt (FALSCH): f muss nicht surjektiv sein; einfaches Gegenbeispiel: sei B = [-1,1] Intervall, BcR; f:R->R, f(x)=1/x f^-1 von B ist R\{0} (nachdenken...) das Bild f(R\{0})= [1,0) vereinigt (0,-1] (dabei bedeutet [1,0) halboffenes Intervall von 1 (eingeschlossen) bis 0 (ausgeschlossen)) MFG jochen ps: du hattest recht, dich wegen meines ostergrußes am kopf zu kratzen, sollt natürlich eigentlich frohe ostern 1863 heißen ["mist"] |
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| 04.11.2004, 08:28 | MaggotManson | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau da lag mein Verständnisproblem. Aber so ist es natürlich klar, danke sehr. 
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| 04.11.2004, 09:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super, dass es dir jetzt klar ist, Maggot! Wie sieht's bei dir aus KatMat? |
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| 04.11.2004, 09:50 | KatMat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Morgen, mir raucht noch mein Kopf. 
Ne, im ernst...habe mir alles aufgezeichnet, und es leuchtet mir auch ein. Aber habe Schwierigkeiten den Beweisen (daraus folgt das...dann das usw.) zu folgen. Gibts da auch eine übersichtlichere Schreibweise?! Katmat |
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| 04.11.2004, 10:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo katmat, naja, das kannst du natürlich viel übersichtlicher gestalten, wenn du's auf'm blatt papier von hand schreibst. aber mit meinem geringen LaTeX-Wissen habe ich es hier nur so hinbekommen. ein beweis dieser art benötigt nun mal eine schlussfolgerungskette; schreibe am besten bedingungen, tatsachen, definitionen, die du genutzt hast, klein unter den folgepfeill (oder hänge sie mit (*) an), dann wirds total übersichtlich. blabla => blabla2 => blablablablablubb => honk (*) (**) (***) denn: (*)= wegen der Definition von... (**)= weil..... (***)=..... das ist dann auf jeden fall gut zu lesen und man hat eine gute übersicht, wie du auf die einzelnen folgerungen kommst. mfg jochen |
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| 04.11.2004, 12:50 | KatMat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Jochen, so, ich habe jetzt mal zusammengefasst: B c N => f(f^-1(B)) c B Man zeigt, dass alle Elemente von f(f-^1(B)) auch in B sind: y Element f(f^-1(B)) --> Es existiert x Element f^-1(B) mit f(x) = y --> f(x) Element B --> y Element B --> y Element f(f-^1(B)) => y Element B => f(f-^1(B)) c B ------------------------------- A c M => A c f^-1 ( f(A)) man zeigt, dass A c f^-1 ( f(A)) ist, also ein x Element A soll auch ein x Element f^-1 ( f(A)) sein!!! wenn x aus A => f(x):= y liegt in N [denn AcM und f ist für m definiert, also auch für A] wenn f(x):= y liegt in N => x liegt in f^-1 ({y}) y liegt in f(A) => f^-1({y}) c f^-1(f(A)) weil: f^-1({y}) = { x | x wird auf y abgebildet} f^-1(f(A)) = { x | x wird auf f(A) abgebildet} = { x | x wird auf y abgebildet} vereinigt { x | x wird auf f(A)\{y} abgebildet} wenn f^-1({y}) c f^-1(f(A)) (bedeutet, alle Elemente aus f^-1({y}) müssen auch in f^-1(f(A)) liegen!) => x liegt in f^-1 ({y}) => x liegt in f^-1(f(A)) ----------------------------------- Jetzt die Frage, stimmt das denn was ich geschrieben habe?!?
Gruß Katmat |
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| 04.11.2004, 13:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sieht auf den ersten Blick sehr gut aus, KatMat! wie gesagt, wenn du es dann aufschreibst, wie ich oben beschrieben habe, so ist es gleich noch viel übersichtlicher, weil die Folgerungskette nicht unterbrochen wird....
dieser teil ist tatsächlich einfacher als der aus a), weil x nur ein Bild haben kann, im Gegensatz zu mehreren Urbildern, die existieren können.... also ich weiß nicht, wie's euch geht, aberlangsam schwirrt mir der kopf vor lauter f und f^-1! da kann man ja gar nicht mehr klar denken.... *ggg* mfg jochen |
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