Beweis für die Assiziativität eines Relationenproduktes

04.11.2004, 13:28	Moeki_Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für die Assiziativität eines Relationenproduktes M sei eine nichtleere Menge M $\begin{eqnarray} \not= \end{eqnarray}$ 0 und $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ MxM sei eine binäre Relation in M. Das Produkt zweier binärer Relationen $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1, $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2 in M ist durch $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2 := {(x,y) \| $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ z((x,y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2 $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ (z,y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1)} definiert. Beweisen Sie, dass dieses Relationenprodukt assoziativ ist! ___________________ Also das Assoziativgesetz hierfür wäre ja ( $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 3 = $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2 $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 3) Dabei entspricht ( $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2) dem $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1 von oben und $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 3 des Assoziativgesetzes ist $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2 von oben. Also (x.y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 3 $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ (x.y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ (x,y) \| $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ ((x,z) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2 $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ (z,y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1) Weiter weiss ich nicht. Gruß Marko.
04.11.2004, 13:34	Moeki_gast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für die Assiziativität eines Relationenproduktes $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ z((x,z) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 3(z,y) $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ (z,y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2)) Versteht das überhaupt jemand?
05.11.2004, 16:53	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist also $\begin{eqnarray} f_1\cdot (f_2 \cdot f_3)=\{(x,y)\|\exists a : (x,y)\in (f_2 \cdot f_3) \wedge (a,y)\in f_1\} \end{eqnarray}$ Jetzt musst du darin noch die Bedingung einsetzten, dass (x,y) in f_2*f_3 ist einsetzten, umformen und in die andere Richtung auflösen. Oder du fängst von der anderen Seiten an, und beide Rechnungen "treffen sich dann in der Mitte". Gruß Anirahtak
07.11.2004, 13:52	Moeki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber weiter also bis zur oben genannten Umformung komme ich irgendwie nicht.
08.11.2004, 20:40	Moeki	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für die Assiziativität eines Relationenproduktes Ich komme bis $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ z((x,z) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 3 $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ a((z,a)) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 2 $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ (a,y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ 1) Gehts noch weiter?

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