Prädikatenlogik

04.11.2004, 19:27

Jan

Prädikatenlogik

Hallo,

ich krieg bei dieser Aufgabe keinen gescheiten Ansatz hin. Könnte mir da bitte mal jemand auf die Sprünge helfen...

Auf der Menge M aller Menschen seien die folgenden atomaren Prädikate definiert:

M(x) = ?x ist männlich?,
K(x, y) = ?x ist Kind von y?,
G(x, y) = ?x = y?.

Formulieren Sie die folgenden Sätze als prädikatenlogische Formeln, wobei Sie nur die oben angegebenen atomaren Prädikate einsetzen dürfen:
a) x hat höchstens einen Sohn.
b) x hat genau eine Schwester.
c) Keiner der Großväter von x hat einen Bruder.

Hinweis: Auch Halbgeschwister zählen als Geschwister.

Vielen Dank,

Gruß

Jan

04.11.2004, 19:50

slyck

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dein G verstehe ich nicht, soll das die Diagonalrelation auf der Menge aller Menschen sein?

Um die Aussagen darzustellen, solltest du versuchen, diese nach Existenz- und All-Aussagen zu zerteilen, und dann versuchen, durch die Prädikate, die du hast, darzustellen.

z.B.
x hat genau einen Vater
<=> (es gibt eine Person, die der Vater von x ist) und (alle anderen Personen sind nicht Vater von x)
<=> es gibt eine männliche Person, von der x das Kind ist und von allen anderen männlichen Personen ist x nicht das Kind
<=> es gibt eine Person y, die männlich ist, x ist deren Kind und für alle Personen z gilt: wenn z männlich ist und x ein Kind von z, dann ist z = y
<=> $\begin{eqnarray*} \exists y. M(y) \wedge K(x,y) \wedge (\forall z. M(z) \wedge K(x,z) \rightarrow z = y) \end{eqnarray*}$

Und jetzt versuch mal, deine Aussagen genauso zu übersetzen ...

09.11.2004, 13:38

jan2

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so, nun hab ich folgendes:

a)

Es gibt eine männliche Person, die das Kind von x ist oder es gibt keine männliche Person, die das Kind von x ist.

$\begin{eqnarray*} \exists y((K(y,x) \wedge M(y)) \vee \neg(K(y,x) \wedge M(y)) \end{eqnarray*}$

b)

Es gibt eine Person y, y ist nicht männlich und x und y haben ein gemeinsames Elternteil und es gibt keinen nicht männlichen Menschen (w), der ein gem. Elternteil mit x hat und von y verschieden ist.

$\begin{eqnarray*} \exists y \exists z ( \neg M(y) \wedge (K(x,z) \wedge K(y,z)) \wedge \exists w ( \neg M(w) \wedge (K(x,z) \wedge K(w,z)) \wedge \neg G(w,y)) \end{eqnarray*}$

c)

... bin ich noch am basteln...

kann man das so machen ??

danke.

09.11.2004, 14:50

slyck

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Zitat:

a)

Es gibt eine männliche Person, die das Kind von x ist oder es gibt keine männliche Person, die das Kind von x ist.

$\begin{eqnarray*} \exists y((K(y,x) \wedge M(y)) \vee \neg(K(y,x) \wedge M(y)) \end{eqnarray*}$

Der Ansatz ist schon gut, nun hast du aber irgendwie eine Tautologie aufgeschrieben: x hat einen Sohn, oder nicht.
Was du noch brauchst, ist das höchstens. Das heißt ja, das wenn er einen hat, es nicht zwei geben kann ...

Zitat:

b)
Es gibt eine Person y, y ist nicht männlich und x und y haben ein gemeinsames Elternteil und es gibt keinen nicht männlichen Menschen (w), der ein gem. Elternteil mit x hat und von y verschieden ist.

$\begin{eqnarray*} \exists y \exists z ( \neg M(y) \wedge (K(x,z) \wedge K(y,z)) \wedge \exists w ( \neg M(w) \wedge (K(x,z) \wedge K(w,z)) \wedge \neg G(w,y)) \end{eqnarray*}$

Das ist fast richtig, nur das "es gibt keinen" in deinem Satz hast du nicht umgesetzt.
Bei der Klammersetzung solltest du nochmal überlegen, da das letzte y im Scope des ersten gebunden sein muß. Das ist eine Frage der Definition, welche Junktoren/Quantoren stärker binden.

Zitat:

c)
... bin ich noch am basteln...

Vielleicht versuchst du erstmal alle Großväter darzustellen?

09.11.2004, 16:07

jan3

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a)

Es gibt eine männliche Person, die das Kind von x ist und es gibt keine männliche Person (z), die das Kind von x ist und von y verschieden.

$\begin{eqnarray*} \exists y((K(y,x) \wedge M(y) \wedge \neg \exists z (K(z,x) \wedge \neg G(y,z)) \end{eqnarray*}$

Frage: Wie setzte ich den Fall um, daß x gar keinen Sohn hat, was bei "... höchstens einen Sohn" ja auch sein kann, oder ??

b)

Es gibt eine Person y, y ist nicht männlich und x und y haben ein gemeinsames Elternteil und es gibt keinen nicht männlichen Menschen (w), der ein gem. Elternteil mit x hat und von y verschieden ist.

$\begin{eqnarray*} \exists y (\exists z ( \neg M(y) \wedge (K(x,z) \wedge K(y,z)) \wedge \neg \exists w ( \neg M(w) \wedge (K(x,z) \wedge K(w,z)) \wedge \neg G(w,y)) \end{eqnarray*}$

Ist es so besser ??

c)

Sind das die Großväter ??

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \exists u \exists v \exists w \exists y (K(x,u) \wedge K(x,v) \wedge M(u) \wedge \neg M(v)) \wedge (K(u,w) \wedge M(w) \wedge K(v,y) \wedge M(y)) \end{eqnarray*}$

danke.

11.11.2004, 10:48

slyck

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Zitat:

Original von jan3
a)
Es gibt eine männliche Person, die das Kind von x ist und es gibt keine männliche Person (z), die das Kind von x ist und von y verschieden.

$\begin{eqnarray*} \exists y((K(y,x) \wedge M(y) \wedge \neg \exists z (K(z,x) \wedge \neg G(y,z)) \end{eqnarray*}$

Frage: Wie setzte ich den Fall um, daß x gar keinen Sohn hat, was bei "... höchstens einen Sohn" ja auch sein kann, oder ??

z muß jetzt erstmal männlich sein, weil du über die anderen Kinder (=Töchter) ja keine Aussage treffen willst. (Du hast jetzt geschrieben: x hat (genau) einen Sohn und keine anderen Kinder).

"höchstens 1" ist doch das gleiche wie "genau 1 oder kein". "genau einen" hast du jetzt (fast) und "keinen Sohn" hattest du ja in der Version davor schon aufgeschrieben ...

Zitat:

b)
Es gibt eine Person y, y ist nicht männlich und x und y haben ein gemeinsames Elternteil und es gibt keinen nicht männlichen Menschen (w), der ein gem. Elternteil mit x hat und von y verschieden ist.

$\begin{eqnarray*} \exists y (\exists z ( \neg M(y) \wedge (K(x,z) \wedge K(y,z)) \wedge \neg \exists w ( \neg M(w) \wedge (K(x,z) \wedge K(w,z)) \wedge \neg G(w,y)) \end{eqnarray*}$

Ist es so besser ??

Das ist jetzt richtig, es fehlen glaube ich nur ein paar schließende Klammern am Ende (2, wenn ich richtig gezählt habe).

Zitat:

c)
Sind das die Großväter ??

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \exists u \exists v \exists w \exists y (K(x,u) \wedge K(x,v) \wedge M(u) \wedge \neg M(v)) \wedge (K(u,w) \wedge M(w) \wedge K(v,y) \wedge M(y)) \end{eqnarray*}$

Also w und y sind jetzt die Großväter, aber ziemlich kompliziert smile

Es reicht doch
$\begin{eqnarray*} \forall z ((\exists y ( K(x,y) \wedge K(y,z) \wedge M(z))) \Rightarrow ... ) \end{eqnarray*}$
und bei ... mußt du jetzt noch "hat einen Bruder" eintragen.

Wenn du => nicht benutzen willst, kannst du natürlich auch die Aussage erstmal umformen zu
Für alle Menschen gilt: sie sind kein Großvater von x oder haben genau einen Bruder.

11.11.2004, 12:16

jan3

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hoffentlich haben wir es bald geschafft ...bin schon so verwirrt von zuviel logik... smile

können wir das denn so zusammenfassen?

a) x hat höchstens einen Sohn:

Es gibt eine männliche Person y, die das Kind von x ist und es gibt keine männliche Person (z), die das Kind von x ist und von y verschieden oder es gibt kein männliches Kind von x.

$\begin{eqnarray*} \exists y(((K(y,x) \wedge M(y) \wedge \neg \exists z (K(z,x) \wedge \neg G(y,z)) \vee \neg(K(y,x) \wedge M(y))) \end{eqnarray*}$

b) x hat genau eine Tochter:

Es gibt eine nicht männliche Person y, x und y haben ein gemeinsames Elternteil (z) und es gibt keinen nicht männlichen Menschen (w), der ein gemeinsames Elternteil mit x hat und von y verschieden ist.

$\begin{eqnarray*} \exists y (\exists z ( \neg M(y) \wedge (K(x,z) \wedge K(y,z)) \wedge \neg \exists w ( \neg M(w) \wedge (K(x,z) \wedge K(w,z)) \wedge \neg G(w,y)))) \end{eqnarray*}$

c) Keiner der beiden Großväter von x hat einen Bruder:

Für alle Menschen (z) gilt: sie sind Großvater von x und haben keinen Bruder.

$\begin{eqnarray*} \forall z ( \exists y ( K(x,y) \wedge K(y,z) \wedge M(z)) \wedge (M(z) \wedge \exists v \exists w(K(v,w) \wedge K(z,w) \wedge \neg G(v,z)))) \end{eqnarray*}$

11.11.2004, 12:52

jan3

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ich meinte bei c)

$\begin{eqnarray*} \forall z ( \exists y ( K(x,y) \wedge K(y,z) \wedge M(z)) \wedge \neg (M(z) \wedge \exists v \exists w(K(v,w) \wedge K(z,w) \wedge \neg G(v,z)))) \end{eqnarray*}$

11.11.2004, 18:15

slyck

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Zitat:

Original von jan3
a) x hat höchstens einen Sohn:
Es gibt eine männliche Person y, die das Kind von x ist und es gibt keine männliche Person (z), die das Kind von x ist und von y verschieden oder es gibt kein männliches Kind von x.

$\begin{eqnarray*} \exists y(((K(y,x) \wedge M(y) \wedge \neg \exists z (K(z,x) \wedge \neg G(y,z)) \vee \neg(K(y,x) \wedge M(y))) \end{eqnarray*}$

z noch männlich, und deine Klammersetzung stimmt noch nicht (momentan ist das wahr, wenn es einen einzigen Mann gibt)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \exists y (\exists z ( \neg M(y) \wedge (K(x,z) \wedge K(y,z)) \wedge \neg \exists w ( \neg M(w) \wedge (K(x,z) \wedge K(w,z)) \wedge \neg G(w,y)))) \end{eqnarray*}$

Mmh, eine Sache ist noch, w könnte die Tochter von nem anderen Elternteil sein als y ... (dann kannst du da also nicht z verwenden)

Zitat:

c) Keiner der beiden Großväter von x hat einen Bruder:

Für alle Menschen (z) gilt: sie sind Großvater von x und haben keinen Bruder.

$\begin{eqnarray*} \forall z ( \exists y ( K(x,y) \wedge K(y,z) \wedge M(z)) \wedge (M(z) \wedge \exists v \exists w(K(v,w) \wedge K(z,w) \wedge \neg G(v,z)))) \end{eqnarray*}$

Mmh, also wenn, dann gilt doch:
sie sind NICHT Großvater von x oder haben keinen Bruder. Es sind doch sicherlich nicht alle Menschen der Großvater von x ...

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