Kühe und vollständige Induktion |
| 04.11.2004, 19:58 | Miri | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kühe und vollständige Induktion hab mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe, die ich nicht verstehe. X( Ich soll den Fehler in diesem "Beweis" finden: A(n) : Jede Menge von n Kühen enthält nur Kühe der selben Farbe. Induktionsanfang: n = 1 Da die Menge nur eine Kuh enthält, haben alle Kühe in der Menge die selbe Farbe. Induktionsschritt: n -> n+1 Sei K = {k1,...kn+1} eine beliebige Menge von Kühen mit |K| = n+1. Nach Induktionsvoraussetzung enthalten die n-elementigen Mengen K1 = {k1,...kn} K2 = {k2,...kn+1} nur Kühe jeweils der selben Farbe. Da sowohl K1 als auch K2 die Kühe k2,...kn enthalten, muß die Farbe aller Kühe in K gleich sein. Ich hoffe mir kann jemand helfen... Miriam |
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| 04.11.2004, 20:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kühe und vollständige Induktion
Das stimmt nicht für alle n. |
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| 04.11.2004, 21:28 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kühe und vollständige Induktion K1 = {k1,...kn} K2 = {k2,...kn+1} nur Kühe jeweils der selben Farbe. Da sowohl K1 als auch K2 die Kühe k2,...kn enthalten, muß die Farbe aller Kühe in K gleich sein. wenn ich es recht verstehe: das sind aber nur (n -1) kühe, da fehlen eben die kühe k(1) und k(n+1), über deren farbe wir keine information haben. ich habe gelesen: vollst.induktion .... eine allgemeine aussage über natürliche zahlen, so bleibt zu fragen, ob farbe eine eigenschaft der nat. zahlen ist werner |
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| 04.11.2004, 22:12 | Miri | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kühe und vollständige Induktion Danke für die Tips! Hat mir auf jeden Fall mal weitergeholfen... Miriam |
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| 12.11.2004, 04:14 | :-D | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kühe und vollständige Induktion
Natürlich ist Farbe keine Eigenschaft natürlicher Zahlen, aber "die n-te Kuh in unserer Auflistung ist lila" ist eine Eigenschaft, die der Zahl n zugeordnet werden kann, sofern es eine n-te Kuh in unserer Auflistung gibt. |
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| 12.11.2004, 04:20 | HErr KARL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kühe und vollständige Induktion Das Problem bei diesem Beispiel ist die Zahl 1. Der Induktionsbeweis funktioniert theoretisch gesehen für alle Zahlen, außer du hast nur eine Kuh. Denn wenn deine Grundmenge nur aus einer Kuh besteht und du diese entfernst, haben wir über keine Kuh mehr Informationen(n-1) |
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| 12.11.2004, 04:27 | ?-) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man nur eine Kuh hat, dann hat diese doch offensichtlich "dieselbe Farbe". Das Problem liegt ein bisschen woanders. |
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| 12.11.2004, 13:27 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke schon, dass das richtig ist, dass der Induktionsschritt für n=1 nicht funktioniert.
Für n=1 ist aber und somit und außerdem dann und wieder Jetzt enthalten die Mengen keine gemeinsamen Elemente, der Induktionsschritt ist also vor allem für n=1 falsch. |
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| 12.11.2004, 13:41 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das ist der Kasus Knacktus. Bei einer richtigen Induktion würde man die Transitivität der Gleichheit ausnutzen. Anfang: Für jedes Paar! von Kühen gilt: Beide Kühe haben dieselbe Farbe. Voraussetzung: Jede n-1-elementige Menge von Kühen ist einfarbig. Schluss: Wie gegeben. Dann funktioniert die Induktion tatsächlich. Im Anfang aber nur etwas über EINE Kuh auszusagen um dann später mit der Transitivität von "=" zu argumentieren ist grob fahrlässig. |
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| 12.11.2004, 14:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Tobias Der Beweis für deine Aussage wäre aber trotzdem nicht richtig, was ja schon ein Gegenbeispiel aus der Praxis zeigt, womit man die Aussage widerlegen kann! |
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| 12.11.2004, 18:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht so voreilig! Vor einigen Jahren habe ich in einem Supermarkt eine Riesen-Lila-Kuh gesehen. Vorher hätte ich auch nicht gedacht, daß es so etwas gibt. |
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| 12.11.2004, 19:25 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@MSS: Wieso? Wenn ich im Induktionsanfang zeigen kann, dass jedes Paar von zwei Kühen dieselbe Farbe hat dann stimmt doch die Aussage: Alle Kühe haben dieselbe Farbe. Dass ich den Anfang zeigen kann ist eine ganz andere Sache. |
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