Basis

25.03.2007, 03:59

Frank85

Basis

hallo!
Also ich habe eine Frage zum Thema Vektorbasis!
Im Skript von uns gibt es eine passage die ich nicht ganz einsehe.

Gg sind die Vektoren:

v1: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

v2: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

v3: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

v4: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Frage: Welche Vektoren bilden eine Basis?.

1. Überführen in S-System:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 5 & 4 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das führt dann letztlich über Zeilen Gauß zu:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

laut skript folgt nun : v1,v2,v4 bilden basis!

Nun meine Frage(n):

bilden auch v1, v3 und v4 basis?

nach definition bilden linearunabhängige vektoren eine basis, also würd ich mal ja sagen! Denn genauso wie [v1,v2,v4] LU sind ,sind doch auch [v1,v3,v4] eine Basis.

Allerdings frage ich mich dann, warum nicht v1,v2,v3 und v4 eine basis bilden, denn v2 und v3 sind doch ebenfalls linear unabhängig!?.
Liegt das daran das dieDimension der Matrix 3 ist und deshalb nur 3 Vektoren eine Basis bilden ?

25.03.2007, 10:55

klarsoweit

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RE: Basis

Zitat:

Original von Frank85
1. Überführen in S-System:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 5 & 4 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, ob das so in der Vorlesung gemacht wurde. Ich schreibe die Vektoren als Zeilen in die Matrix. Dann wird auch bei Zeilenumformungen klar, ob und warum die Vektorn linear abhängig sind oder nicht.

Zitat:

Original von Frank85
bilden auch v1, v3 und v4 basis?

Das könnte sein, muß aber nicht. Das wäre separat zu prüfen. Im Prinzip mußt du da alle Kombinationen durchgehen.

25.03.2007, 18:26

WebFritzi

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RE: Basis

Zitat:

Original von Frank85
die Dimension der Matrix

Eine Matrix hat keine Dimension! Bring nicht alles durcheinander. Auch die Frage, ob ein paar Vektoren eine Basis bilden, ist eigentlich völliger Blödsinn, denn es fragt sich, wovon die Vektoren eine Basis sein sollen... Eine berechtigte Frage wäre, ob die Vektoren linear unabhängig sind.

25.03.2007, 21:44

Leopold

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RE: Basis

Zitat:

Original von WebFritzi
Eine Matrix hat keine Dimension!

Im strengen Sinn natürlich nicht. Aber man könnte darunter die Dimension des Bildes der durch die Matrix vermittelten linearen Abbildung verstehen.

25.03.2007, 21:48

tigerbine

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RE: Basis
Was heißt im strengen Sinne. verwirrt

Wir sollten hier schon auf die richtige Verwendung der Begriffe Wert legen. Auch wenn man sich denken kann, was gemeint ist Augenzwinkern

25.03.2007, 21:52

Leopold

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Ich meine, mir ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{dim}(A) \end{eqnarray*}$ für eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in dem von mir genannten Sinne schon begegnet. Wenn nicht, dann definiere ich das jetzt einfach mal so ... Big Laugh

26.03.2007, 00:06

WebFritzi

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Man nennt das den Rang der Matrix.

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