Schachbrett

06.11.2004, 13:50	robman	Auf diesen Beitrag antworten »
Schachbrett Zeigen sie durch vollständige Induktion für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ folgende Aussage: Ein $\begin{eqnarray} 2^n 2^n \end{eqnarray*}$ Schachbrett, dem man ein Feld entnommen hat, kann mit L-förmigen, drei Felder abdeckenden Dominosteinen überdeckt werden. thx für eure Hilfe robman
06.11.2004, 14:01	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige: $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} 2^n \cdot 2^n - 1 \end{eqnarray}$ . Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 \text{ teilt } 2 \cdot 2 - 1 =3 \end{eqnarray}$ ... usw. Oder hapert es eben genau an dieser Induktion? MfG Edit: Verdammt, ich kann mir garnicht erklären, warum der LaTeX-Code einmal fett und einmal dünn gedruckt wird...
06.11.2004, 14:18	robman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schachbrett Ja, es hapert genau an dieser Induktion .... Cu robman
06.11.2004, 15:25	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfang hab ich oben gezeigt und Induktionsvoraussetzung schenke ich mir jetzt mal hier. Induktionsschluss: $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \cdot 2^{n+1} - 1 = 4 \cdot 2^n \cdot 2^n - 1 = 4 \cdot (2^n \cdot 2^n - 1 + 1) - 1 = ... \end{eqnarray}$ Ab da kommst du alleine weiter. Der Trick ist die zwischengeschobene "konstruktive Null" -1 + 1.
06.11.2004, 18:05	1Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hi Tobias, danke für die Tipps... läuft dein Induktionsbeweis auf = 3 (teilt 3) hinaus? bye 1Gast
06.11.2004, 18:32	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, man kann ja die Induktionsvoraussetzung in den Term einsetzen. Die Voraussetzun gist, dass der Term $\begin{eqnarray} 2^n \cdot 2^n - 1 \end{eqnarray}$ von 3 geteilt wird. 3 teilt t bedeutet aber nichts anderes als: Es existiert ein $\begin{eqnarray} d \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} t = 3\cdot d \end{eqnarray}$ . Also ersetzt man die Induktionsvoraussetzung durch $\begin{eqnarray} 3d \end{eqnarray}$ und schaut, ob der resultierende Term wieder durch 3 teilbar ist. Die kann man z.B. zeigen, wenn man 3 ausklammern kann.
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07.11.2004, 18:38	eule	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei euren Beweisen geht die L form des Steines nicht ein. Gesucht ist eine eher "graphische" Induktion. IA ist das 22 Brett wo eine Ecke fehlt. Im nächsten Schritt kommt man auf das 44 Brett in dem ein Feld fehlt und im nächsten Schritt ist man dann am 8*8 Brett in dem ein beliebiges Feld fehlt.

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