nichttriviale Lösung??

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06.11.2004, 18:22	Mavil	Auf diesen Beitrag antworten »
nichttriviale Lösung?? huhu Die Frage lautet: Für welche reellen Werte von a hat das homogene lineare Gleichungssystem nichttrviale Lösungen? Gegeben ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann steht noch da: Man bestimme diejenige Lösung, die durch die zusätzliche Gleichung $\begin{eqnarray} x_1 + x_2 + 2x_3= 1 \end{eqnarray}$ festgelegt wird. Ich sitz nun scho 2 Stunden an der Aufgabe und weiss einfach nicht was ich tun soll, bzw was die Lösung überhaupt darstellen soll. Was ist mit der nichttrivialen Lösung gemeint?? Danke schonmal im vorraus MfG MaV
06.11.2004, 18:26	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nichttriviale Lösung?? Mit trivialer Lösung ist die Lösung (0/0/0) gemeint. Dieses Gleichungssystem hat entweder nur diese Lösung oder unendlich viele. Du sollst also die Lambda bestimmen, für die unendlich viele Lösungen vorhanden sind. Weißt du jetzt auch, was mit der zusätzlichen Bedingung gemeint ist?
06.11.2004, 18:38	Mavil	Auf diesen Beitrag antworten »
Also irgendwie komm ich mir gerade bissi .... vor. Ich sitz 2 Stunden an der Aufgabe und im Endeffekt war das was ich nach 5 mins dachte doch richtig. Die Lösung ist ja bekanntlich $\begin{eqnarray} x_1 = x_2 = x_3 = 0 \end{eqnarray}$ . Also kann ich ja die $\begin{eqnarray} \ lambda \end{eqnarray}$ frei wählen wenn ich die x einsetz, soweit richtig oder? Also besitzt das System unendlich viele Lösungen. Was gibbs da noch an Lamdas zu bestimmen, wenn die x eh alle 0 sind kann ich Lamda frei wählen??? Und was das mit der anderen Gleichung zu tun hat weiss ich auch nicht Bitte helft mir da mal noch etwas nach, ich glaub ich hab gerade son Blackout
06.11.2004, 18:43	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Lösung nicht von vornherein weißt, dann schreib doch mal das Gleichungssystem ausführlich hin (L=lambda): Lx1 + x2 -x3 =0 x1 + Lx2 +x3 =0 x1 + 2x2 -Lx3 =0 und rechne durch, das sollte eine Bestimmungsgleichung für lambda ergeben.
06.11.2004, 18:45	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Lambda ist in diesem Fall eine feste unbekannte Größe. Die Variablen sind x1,x2,x3. Du mußt die Lösungsmenge in Abhängigkeit von Lambda bestimmen. Die triviale Lösung löst IMMER ein homogenes Gleichungssystem. Aber für bestimmte Lambda gibt es unendlich viele Lösungen (das ist mit "nichttriviale Lösung" gemeint). Du sollst genau die Lambda bestimmen, für die das der Fall ist. Das machst du, indem du allgemein das Gleichungssystem mit dem Gaußalgorithmus auf Dreiecksform bringst. Dann mußt du dir überlegen, wann das System nur die triviale und wann unendlich viele Lösungen hat. Wenn du das hast, wirst du auch die weitere Bedingung verstehen
06.11.2004, 18:54	Mavil	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm da war ich heute auch schon. Wusste nur dann nicht weiter Also wäre dann, wenn ich richtig gerechnet habe: $\begin{eqnarray} \lambda^{2} -\lambda +1=0 \end{eqnarray}$ das würde (mit dem Lösungsverfahren für quadr. Gleichungen) bedeuten das unter der Wurzel ne negative Zahl steht und das ist nicht lösbar. Steh ich gerade komplett aufm flaschen Fuß? MfG
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07.11.2004, 01:13	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es mal nachgerechnet. Da mußt du irgendwo einen Fehler drinhaben. Poste mal deinen Rechenweg. Wichtig ist aber, dass du den Ansatz verstanden hast. Alles weitere ist Übung und Konzentrationssache. Die Gleichung, die bei mir letztlich zu lösen ist, ist $\begin{eqnarray} \lambda^3+1=0 \end{eqnarray}$
07.11.2004, 11:14	Mavil	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm Hast du das mit dem Gaußschen Verfahren gemacht?? Ich hab als erstes die 2te Zeile und die 1 als pivot element genommen. Dann im nächsten Schritt war X3 Pivot Element. Aber ich tests gleich nochmal
07.11.2004, 14:03	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich habe das mit dem Gauß-Verfahren gemacht. Ich habe es jetzt zusätzlich nochmal nach deinem Verfahren gemacht und habe unterschiedliche Lösungen bekommen. Vielleicht hat jemand anderes noch eine Idee. Hier mal die beiden Lösungen von mir: Dein Verfahren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z1a = -\lambda z2+z1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z3a=-z2+z3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1-\lambda^2 & -1-\lambda \\ 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda & -1-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z3b=-z1a + z3a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1-\lambda^2 & -1-\lambda \\ 1 & \lambda & 1 \\ 0 & \lambda^2-\lambda+1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und nun meine Lösung: Ich habe erst die erste und die letzte Zeile vertauscht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z2a=z2-z1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z3a=z3-\lambda z1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ 0 & \lambda-2 & 1+\lambda \\ 0 & 1-2\lambda & \lambda^2-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z3b=(2\lambda-1)z2a + (\lambda-2)z3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ 0 & \lambda-2 & 1+\lambda \\ 0 & 0 & \lambda^3+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also wer hat einen Fehler gemacht? Ich weiß es nicht
07.11.2004, 14:10	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaaah, ich glaube, ich sehe es. Wie ich vermutet habe, sieht deine letzte Matrix so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1-\lambda^2 & -1-\lambda \\ 1 & \lambda & 1 \\ 0 & \lambda^2-\lambda+1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die 3. Zeile kriegst du nicht zu einer Nullzeile. Das hast du schon festgestellt. Aber probiere mal, die erste Zeile zu einer Nullzeile zu machen. Dann kriegst du die gleiche Lösung für Lambda wie ich.
07.11.2004, 17:48	Mavil	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab 2erlei Lösungen mit dem Gauß erhalten. da steht in der letzten Zeile: $\begin{eqnarray} \frac{-\lambda^{3}-1}{\lambda+1} \end{eqnarray}$ . 0 . 0 . 0 also in der schreibweise mit der Tabelle. Mit x1 x2 x3 = . Die andere Lösung lautet: 0 . $\begin{eqnarray} \lambda^{2} - \lambda +1 \end{eqnarray}$ . 0 . 0 ich weiss nur nicht was mir das jetzt sagen soll. Und irgendwie ist mir auch nicht klar was ich eigentlich errechenen soll. Das System hat eine Lösung, die ist x1=x2=x3=0 und das ist die triviale Lösung. Soweit hab ich das richtig verstanden? Nur was soll die nichttriviale Lösung bedeuten?
07.11.2004, 18:36	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Mavil, ein homogenes Gleichungssystem (d.h. im Lösungsvektor stehen nur 0er) hat entweder genau eine Lösung (triviale Lösung 0/0/0) oder unendlich viele (nichttriviale Lösung). Das hängt aber von den Koeffizienten in der Matrix ab. Gehen wir mal von dem gegebenen Fall aus, dass die Matrix quadratisch ist (z.B. 3 Gleichungen, 3 Unbekannte). Wenn du nun den Gaußalgorithmus anwendest, bekommst du bekanntlich am Ende folgende Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn die Zahlen a1,b2,c3 ungleich 0 sind, dann ist (0/0/0) die einzige Lösung des Gleichungssystems. Wenn aber z.B. c3=0 ist, so stehen in der letzten Zeile nur noch 0er. Damit kannst du diese Zeile quasi streichen und hast nur noch 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das läßt sich nicht mehr eindeutig lösen. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Du hast bislang folgendes gemacht: Du hast das Gauß-Verfahren angewandt. Nun mußt du dir ansehen, für welche Lambda sich eine Nullzeile ergibt. Das muß nicht zwangsläufig die Zeile sein, in der nur schon 2 0er vorkommen. In meinem letzten Posting habe ich schon kurz angesprochen, dass es auch eine andere Zeile sein kann. Dein letztes Posting verstehe ich nicht so ganz. Aber ich bringe dich mal einen Schritt weiter. Zunächst mal schreibe ich aus Gründen der Bequemlichkeit statt Lambda nur noch L Wenn du L=-1 setzt, so hat das Gleichungssystem am Ende eine 0-Zeile. Probiere es mal aus. Das heißt, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Das ist mit der "nichttrivialen Lösung" gemeint. Diese kannst du auch ausrechnen. Mach das mal. Vielleicht wird es dir dann klarer. Und wie komme ich auf L=-1? Wenn du dir meinen Lösungsweg anschaust, dann kriegst du in der letzten Zeile L^3+1. Dies muß 0 ergeben, damit sich eine 0-Zeile ergibt und das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Wenn du dir die Matrix anschaust, die ich mit deinen Rechenschritten gemacht habe, siehst du, dass die Reihe mit L^2-L+1 nie 0 ergibt. Wenn du aber in der ersten Zeile 1-L^2=0 und -1-L=0 setzt, wirst du sehen, dass das für L=-1 der Fall ist. Also ergibt sich auch hier eine Nullzeile.
08.11.2004, 11:53	Mavil	Auf diesen Beitrag antworten »
Also kann ich aus meiner Zeile mit dem Bruch ablesen das L nicht -1 werden, daraus könnte man schlussfolgern, wenn es -1 eins wird das dann ein Defekt von 1 entsteht und ich eine Variable frei belegen kann? Das würde dann bedeuten das ich zb x4 = t setze und damit unendlich viele Lösungen entstehen?
08.11.2004, 15:08	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Mavil, da ich nicht genau weiß, wie du auf diesen Bruch gekommen bist, kann ich dir auch nicht genau sagen, ob deine Schlussfolgerung richtig ist. Das ist das Problem, wenn man über das Internet versucht etwas zu erklären. Aber auf alle Fälle kriegst du für Lambda=-1 unendlich viele Lösungen. Probiere es mal aus, wenn du das Gaußverfahren nochmal auf diese spezielle Matrix anwendest. Und wie du schon richtig gesagt hast, mußt du dann eine Variable frei wählen. Wenn du das gemacht hast, verstehst du vielleicht auch, was mit der weiteren Bedingung gemeint ist. Gruß Tobi
14.08.2008, 11:46	Karli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nichttriviale Lösung?? Schneller als mit dem GaußAlgorithmus ist manin diesem Fall, wenn man die Determinante der Matrix ausrechnet. Ist die Determinante gleuch Null gibt es für das System unendlich viele Lsg. (nichttrivial). Hier: det()=LL-L +1 -2 +L -2*L +L = 0 -L³ -1 = 0 L = -1

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