Gleichung komplexe Zahlen

25.03.2007, 21:02

FLO_HAL

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Gleichung komplexe Zahlen

(i)
$\begin{eqnarray*} z^2 + 2iz + 3 = 0 \end{eqnarray*}$
Alle Lösungen sollen bestimmt werden.

(ii)
Die 4. komplexen Wurzeln von -1 sollen berechnet werden, arithmetische Ergebnisform.

(iii)
$\begin{eqnarray*} z_1 = 5 - 3i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 = -1 - i \end{eqnarray*}$ sind gegeben. Real- und Imaginäranteil von $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_2} \end{eqnarray*}$ soll berechnet werden.

Nie gehört traurig

traurig

Wo soll ich da ansetzen?

25.03.2007, 21:14

WebFritzi

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Nie gehört? Warum bekommst du dann Aufgaben dazu? Hast du kein Skript oder sowas?

25.03.2007, 21:25

FLO_HAL

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Nein, leider kein Skript.

25.03.2007, 21:34

Leopold

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(i)
Verwende die bekannte Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

(ii)
Entweder geht das über die Polardarstellung oder rein algebraisch durch Faktorzerlegung. Ich selbst ziehe Letzteres vor: Mache den Ansatz

$\begin{eqnarray*} z^4 + 1 = \left( z^2 + az + 1 \right) \left( z^2 + bz + 1 \right) \end{eqnarray*}$

Durch Ausmultiplizieren der rechten Seite und Koeffizientenvergleich können $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ bestimmt werden. Es ergeben sich dafür reelle Zahlen. Dann weiter wie in (i).

(iii)
Erweitere den Bruch so, daß im Nenner die dritte binomische Formel entsteht. Dadurch fällt $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ im Nenner heraus.

25.03.2007, 21:46

H-Man

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Zitat:

Original von Leopold
(i)
Verwende die bekannte Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = -i \pm \sqrt{i^2 - 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1} = -i + \sqrt{i^2 - 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2} = -i - \sqrt{i^2 - 3} \end{eqnarray*}$

Oder?

25.03.2007, 21:47

FLO_HAL

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RE: Gleichung komplexe Zahlen
(i)
$\begin{eqnarray*} z^2 + 2iz + 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Also über den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=-\frac{2i}{2} \pm \sqrt{\frac{2i^2}{4}-3} \end{eqnarray*}$

(iii)
$\begin{eqnarray*} \frac{5-3i}{-1-i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{5-3i}{-1+i} \end{eqnarray*}$ multiplizieren?

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25.03.2007, 21:49

H-Man

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RE: Gleichung komplexe Zahlen

Zitat:

Original von FLO_HAL
(i)
Also über den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=-\frac{2i}{2} \pm \sqrt{\frac{2i^2}{4}-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = -i \pm \sqrt{i^2 - 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1} = -i + \sqrt{i^2 - 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2} = -i - \sqrt{i^2 - 3} \end{eqnarray*}$

25.03.2007, 21:50

Leopold

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(i)
KLAMMERN SETZEN!

(iii)
Du sollst den Bruch nicht MULTIPLIZIEREN. Das verändert ja seinen Wert. Du sollst ihn nur ERWEITERN.

25.03.2007, 22:02

H-Man

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$\begin{eqnarray*} \frac{5-3i}{-1-i} \end{eqnarray*}$

Erweitern mit

-i+1

Oder seh ich das falsch?

25.03.2007, 22:03

Leopold

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Du siehst das richtig.

25.03.2007, 22:10

H-Man

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Komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{3i^2 - 8i + 5}{i^2 - 1} \end{eqnarray*}$

25.03.2007, 22:17

Leopold

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Stimmt alles. Und jetzt noch $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^2 = -1 \end{eqnarray*}$ beachten. Wir sind ja im Komplexen und $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ ist die imaginäre Einheit.

25.03.2007, 22:19

H-Man

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Zitat:

Original von Leopold
Stimmt alles. Und jetzt noch $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^2 = -1 \end{eqnarray*}$ beachten. Wir sind ja im Komplexen und $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ ist die imaginäre Einheit.

Wieso $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ = -1?

25.03.2007, 22:21

Monstar

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ich glaub es wär besser du liest erstmal das hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen
das würde auch gleich einige deiner probleme beseitigen..

25.03.2007, 22:31

H-Man

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OK!
Also hab ich dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{-3 - 8i + 5}{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{- 8i + 2}{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4i - 1 \end{eqnarray*}$

Und nun noch nach i umstellen?

26.03.2007, 00:11

WebFritzi

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Nein, du bist fertig.

26.03.2007, 00:14

H-Man

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Und was ist da nun der Real und Imaginärteil?

26.03.2007, 00:15

WebFritzi

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Lies den dir gegebenen Link mal ordentlich durch.

26.03.2007, 00:21

H-Man

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Re{4i-1}
Im{4i-1}

??

26.03.2007, 00:24

WebFritzi

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Du hast dir den Wiki-Artikel nochmal durchgelesen?

26.03.2007, 00:28

H-Man

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Man nennt a den Realteil und b den Imaginärteil von a + b\,\mathrm i und schreibt dafür a = \mathrm{Re}\{a + b\,\mathrm i\} und b = \mathrm{Im}\{a + b\,\mathrm i\}\,.

26.03.2007, 00:41

WebFritzi

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Du meinst:

Man nennt a den Realteil und b den Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} a + b\,\mathrm i \end{eqnarray*}$ und schreibt dafür $\begin{eqnarray*} a = \mathrm{Re}\{a + b\,\mathrm i\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \mathrm{Im}\{a + b\,\mathrm i\}. \end{eqnarray*}$

26.03.2007, 00:42

WebFritzi

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Gut abgeschrieben. Aber auch kapiert? Was ist der Realteil von -1 + 4i?

26.03.2007, 00:42

H-Man

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Ja und deswegen hatte ich das oben so geschrieben!?

26.03.2007, 00:43

WebFritzi

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Du bist zu schnell. Siehe meinen letzten Beitrag.

26.03.2007, 00:43

H-Man

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Realteil -1
Imaginär 4

26.03.2007, 00:44

WebFritzi

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Ja. Ich sag doch, du bist fertig.

26.03.2007, 00:45

H-Man

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;-)

Danke!

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