Extremwertaufgaben

25.03.2007, 23:36

echo

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Extremwertaufgaben

Hallo Hallo...
ich habe die folgende Aufgabenstellung erhalten aber bin total verzweifelt... weil mir schon der Ansatz fehlt und ich garnicht durchsehe. Kann mir jemand helfen? lieben dank im voraus Anna unglücklich

unglücklich

Gegeben sind die Funktion f(x) = 1/6 x (x-8)^2 und die gerade mit der gleichung y=2x+8
a) Weisen Sie nach, dass die Gerade g Tangente an den Graphen der Funktion f ist.
b) Ermitteln Sie die Gleichung einer zur Geraden g parallelen Gerade, die ebenfalls Tangente an den Graphen der funktion f ist.
c)Für jedes u sind der Punkt P u (u/f(u)) und der Koordinatenursprung Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen achsenparallelen Rechtecks. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P u, dessen zugehriges Rechteck den größtmöglichen Flächeninhalt unter allen so gebildeten Rechtecken besitzt.

[Modedit: Hilferuf aus dem Titel entfernt! Bitte unterlassen!]

25.03.2007, 23:41

tigerbine

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RE: extremwertaufgaben Geometrie? Hilfe!
Willkommen

Willkommen

Wollen wir mal sehen, was wir für Dich tun können.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{6}\cdot x(x-8)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = 2x +8 \end{eqnarray*}$

Schauen wir uns das mal im Bild an

25.03.2007, 23:45

tigerbine

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RE: extremwertaufgaben Geometrie? Hilfe!
a) Weisen Sie nach, dass die Gerade g Tangente an den Graphen der Funktion f ist.

Was ist hier zu tun?

- Zeige, dass die Funktionen sich schneiden

- Zeige, dass sie im Schnittpunkt die gleiche Steigung besitzen

b) Ermitteln Sie die Gleichung einer zur Geraden g parallelen Gerade h, die ebenfalls Tangente an den Graphen der Funktion f ist.

Siehst Du in der Skizze, wo h liegen müßte?

- Bestimme weitere Punkte, an denen die Funktion f die Steigung von Teilaufgabe a hat

- Stelle die Tangentengleichung durch diesen Punkt auf.

c) Für jedes u sind der Punkt $\begin{eqnarray*} P_u (u/f(u)) \end{eqnarray*}$ und der Koordinatenursprung $\begin{eqnarray*} O(0 /0) \end{eqnarray*}$ Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen achsenparallelen Rechtecks. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray*} P_u \end{eqnarray*}$ , dessen zugehöriges Rechteck den größtmöglichen Flächeninhalt unter allen so gebildeten Rechtecken besitzt.

25.03.2007, 23:52

echo

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hallo tigerbine :-) vielen dank für die schnelle reaktion...das ist ja echt nett von dir...und das zum Sonntag abend!

okay, es ist schon viel anschaulicher. so hat man schonmal eine gewisse Vorstellung.

ich könnte mir schon denken, wo die tangente h ist. aber wie stelle ich das rechnerisch auf? ....und wie zeige ich, dass sich die beiden schneiden (a) ?
für mich ist das leider nicht so einfach zu verstehen...

25.03.2007, 23:54

tigerbine

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Naja, einen Schnittpunkt findet man im allgemeinen durch Gleichsetzen. Also:

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot x(x-8)^2 = 2x +8 \end{eqnarray*}$

Multiplizer doch mal die linke Seite aus, bringe die rechte auf die Linke, dann heißt die neue Aufgabe: Nullstellenbestimmung!

25.03.2007, 23:55

echo

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ahh...ich sehe licht am ende des tunnels. okay ich mach das mal...

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26.03.2007, 00:01

echo

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ach mist... ich krieg das nicht hin...
hab da im anfang 1/6 x^2 ...raus. stimmt das prinzip? ich bin leider total draussen...

26.03.2007, 00:03

tigerbine

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Alles was du zum Auflösen brauchst ist die zweite binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

26.03.2007, 00:07

echo

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also x^2 - 16x + 8^2 ? enscthuldige...meine unwissenheit ist wirklich schlimm...ich weiss...

26.03.2007, 00:09

tigerbine

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Ja.

26.03.2007, 00:11

echo

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nagut,...danke dir für deine hilfe..

26.03.2007, 00:14

tigerbine

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Hast Du mich jetzt irgendwie falsch verstanden? Das ja Bezog sich auf die Formel.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot x(x-8)^2 = 2x +8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot x(x^2-16x+64) = 2x +8 \end{eqnarray*}$

26.03.2007, 00:16

echo

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ja,..da hab ich dich wohl falsch verstanden, entschuldige. mich macht das nur total fertig, das ich bei mathe nie durchsehe und nichts hinbekomm... obwohl ich es wirklich versuch... nungut,..auf ein neues. blos nicht aufgeben :-)

26.03.2007, 00:17

tigerbine

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Also, dann mach mal weiter. Klammern auflösen nun das von rechts nach links bringen Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2007, 00:21

echo

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entschuldige,aber wie löse ich die klammern auf? rechne ich x mal ^2 ?

26.03.2007, 00:27

tigerbine

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Anwenden des Distributivgesetzes. Mal in einer deiner Formelsammlungen nachschlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot x(x^2-16x+64) = 2x +8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot( x \cdot x^2-x \cdot 16x+ x \cdot 64) = 2x +8 \end{eqnarray*}$

Dann war da doch noch was mit den Potenzgesetzen. auch mal nachschlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot (x^3-16x^2+ 64x) = 2x +8 \end{eqnarray*}$

26.03.2007, 00:32

echo

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ohja,...ich habs entdeckt....

26.03.2007, 00:33

derkoch

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot x^3-16x^2+ 64x = 2x +8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}( x^3-16x^2+ 64x) = 2x +8 \end{eqnarray*}$

und machen dann noch ne schöne Klammer dann ist die letzte Meckersocke auch zufrieden! Big Laugh

Big Laugh

Edit: Das c ist ein Geschenk von tigerbine, daher muß ich es einfügen! Big Laugh

Big Laugh

26.03.2007, 00:34

tigerbine

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Ich schenk Dir ein "c", für's Meckern Big Laugh

Big Laugh

26.03.2007, 00:35

echo

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ich muss jetzt erstmal schlafen,muss morgen früh um sieben arbeiten. Schule habe ich erst am abend und werde nach der Arbeit nochmal hier reinschauen... vielleicht habe ich ja glück und du bist da. werde mich nochmal damit auseinander setzen und hoffe, dass ich auch etwas ganz allein bewältige... mal schauen. danke dir erstmal für deine hilfe und wünsche dir eine gute nacht :-)

wirklich lieb, dass du dir die Zeit genommen hast! danke !

liebe grüße anna

26.03.2007, 00:36

derkoch

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OT: Ich möchte aber einen Tip bei Filmzitat haben! Big Laugh

Big Laugh

Das c nehme ich dankend an!

26.03.2007, 00:38

tigerbine

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Gute Nacht Anna,

schau morgen einfach rein. Dann werden wir die Aufgabe schon lösen Wink

Wink

@ Koch:

Für das Zitat mußt Du erst noch ein "p" kaufen Big Laugh

Big Laugh

26.03.2007, 00:39

echo

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vielen dank :-) das macht Mut ....!
dann bis morgen. Liebe Grüße, Anna

26.03.2007, 12:20

echo

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hallo :-)
so...bin wieder da... es kann weitergehen.
wir waren bei

1/6 * (x^3 - 16x^2 + 64x) = 2x + 8

und jetzt ? muss ich die rechte auf die linke seite bringen?

26.03.2007, 12:55

klarsoweit

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Ja. Links noch die Klammer ausmultiplizieren.

26.03.2007, 12:59

tigerbine

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Hallo zurück Wink

Wink

26.03.2007, 13:01

echo

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...1/6 x^3 ? nach diesem Prinzip?

26.03.2007, 13:02

echo

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hallo tigerbine Wink

Wink

26.03.2007, 13:03

tigerbine

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Ja, einfach mit Jedem Summanden der Klammer multiplizieren.

26.03.2007, 13:07

echo

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kann ich 1/6 * (-16X^2) einfach per Taschenrechner rechnen, oder wie mache ich das ?

26.03.2007, 13:08

tigerbine

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Du schreibst das als Bruch!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} x^3-\frac{16}{6}x^2+ \frac{64}{6}x = \frac{12}{6}x +8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} x^3-\frac{16}{6}x^2+\frac{52}{6}x-8=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3-16x^2+52x-48=0 \end{eqnarray*}$

Dafür gibt es Lösungsformeln, man versucht aber zunächst, eine Nullstelle zu Raten. Aus den Vorzeichen schließt man, dass x positiv sein muss. Probier mal

1,2,3,...10 aus

Wo landest Du einen Treffer? Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2007, 13:25

echo

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ich setze also zb. 2 für das x ein.
dann wäre das bei mir 104. da stimmt doch was nicht,ich hab da schon wieder etwas falsch gemacht.
die Nullstellen berechne ich, wenn ich f(x) null setze, oder ist das auch falsch?

26.03.2007, 13:27

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} x^3-16x^2+52x-48=0 \end{eqnarray*}$

Hast Du es mit dem Taschenrechner gerechnet? verwirrt

verwirrt

Vielleicht falsch eingegeben?

$\begin{eqnarray*} 2^3-16\cdot 2^2+52\cdot 2 - 48 = ? \end{eqnarray*}$

26.03.2007, 13:28

echo

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ja, falsch eingegeben wie ich gerade bemerkt habe. Null kommt natürlich heraus.

26.03.2007, 13:30

tigerbine

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Dann geht es hiermit weiter.

Ausprobieren von x=2 erzielt einen Treffer. Es kann noch 2 Nullstellen geben. Dazu führen wir eine Polynomdivision durch:

$\begin{eqnarray*} (x^3-16x^2+52x-48) : (x-2) = x^2-14x+24 \end{eqnarray*}$

Zeige du mir bitte die Rechnung zu diesem Ergebnis!

Hat diese Funktion Nullstellen? Überprüfe dies mit abc-Formel, oder pq-Formel, oder Satz von Vieta. Zur Überprüfung ein Plot.

Zeige mir bitte eine Rechnung dazu!

26.03.2007, 13:41

echo

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sorry,ich brauche ein bisschen länger dafür...bin aber dabei...

26.03.2007, 13:42

tigerbine

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Alles klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2007, 13:55

echo

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x^3 - 2x^2 : = x^2
x^3 -16x^2 +52x -48
0 14x + 52x -48 =x^2-14x

48 : -2 = 24

x^2 - 14x x^2-14x+24

ist ganz schön durcheinander... sorry. Aber das Prinzip ist für mich verständlich.

dann zu den nullstellen:

x^2 - 14x + 24
da müsste p -14 und q 24 sein.
also x1= 12
x2= 2

kann das sein?

26.03.2007, 14:02

tigerbine

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Sehr schön. Dann haben wir jetzt 2 Kandidaten, wo wir prüfen müssen, ob nur ein Schnittpunkt, oder sogar ein Tangentialpunkt vorliegt.

$\begin{eqnarray*} x_1=2,~x_2=12 \end{eqnarray*}$

Wie lauten die Ableitungen der Funktionen f und g?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{6}\cdot x(x-8)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = 2x +8 \end{eqnarray*}$

Welche Werte nehmen sie an den Stellen x_1, x_2 an?

26.03.2007, 14:11

echo

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g´(x) = 2

bilde ich bei f(x)= 1/6x (x-8)^2 äußere mal innere Ableitung?
also f(x) = 2x?

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