Übungsaufgabe analysis 1 macht kopfschmerzen

07.11.2004, 15:05

matto

Übungsaufgabe analysis 1 macht kopfschmerzen

Hallo!
Ich plage mich momentan mit einer Aufgabe rum mit der ich nichts anzufangen weiß:

$\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \ ohne\ \{ 0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a0 := c , an+1 = \frac{2}{3} an + \frac{c}{3an^{2}} \end{eqnarray*}$

(0 , n und n+1 sind der jeweilige index von a)

Zeigen sie das $\begin{eqnarray*} (an)n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergiert und berechnen sie ihren grenzwert.

als hinweis gibt es noch : falls c>0 , zeigen sie zunächst dass an³ >=c und an+1 <=an für n>=1

also mmm wie gesagt ich brauche hilfe hierbie :-)
gruß matto

07.11.2004, 20:01

Mathespezialschüler

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Um den Grenzwert zu berechnen, kannst du folgendes machen:
Wenn du den Grenzwert mit a bezeichnest, dann setze einfach in

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n + \frac{c}{3a_n^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\ \mbox{und}\ a_n \end{eqnarray*}$ das a ein, denn der Unterschied zwischen an und a ist beliebig klein für genügend große n. Dann stellst du "einfach" nach a um.

07.11.2004, 22:03

matto

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Hallo!
erstmal danke! aber.. :-) wie beweise ich das an³ >= c ist??
gruß matto

08.11.2004, 15:15

Gast

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RE: Übungsaufgabe analysis 1 macht kopfschmerzen
$\begin{eqnarray*} \end{align*} Aus der Ungleichung $a_n^3\geq c$ folgt die Konvergenz von $a_n$. Beh.: $a_n^3\geq c$ für alle $n\geq1$. Beweis durch vollst. Induktion. Sei die Beh. für $n\in N$ bereits bewiesen.Aus der Induktionsvoraussetzung folgt: \begin{displaymath}6a_n^3c(a_n^3-c)+c(a_n^6-c^2)-8a_n^6(a_n^3-c) = (a_n^3-c)(\underbrace{7a_n^3c+c^2}_{\leq 8 a_n^6}-8a_n^6)\leq 0\end{displaymath}Nun zum Induktionsschritt: $(n\rightarrow n+1)$\begin{eqnarray*}(a_{n+1})^3& = & \left( \frac{2a_n^3+c}{3a_n^2} \right)^3\\ & = & \frac{8a_n^9+12a_n^6c+6a_n^3c^2+c^3}{27a_n^6}\\ & \geq & \frac{8a_n^9+12a_n^6c+6a_n^3c^2+c^3}{27a_n^6} + \underbrace{\frac{6a_n^3c(a_n^3-c)+c(a_n^6-c^2)-8a_n^6(a_n^3-c)}{27a_n^6}}_{\leq0}\\ & = & c\end{eqnarray*}\begin{align*} \end{eqnarray*}$

08.11.2004, 17:57

Gast

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Um den Grenzwert zu berechnen, kannst du folgendes machen:
Wenn du den Grenzwert mit a bezeichnest, dann setze einfach in

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n + \frac{c}{3a_n^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\ \mbox{und}\ a_n \end{eqnarray*}$ das a ein, denn der Unterschied zwischen an und a ist beliebig klein für genügend große n. Dann stellst du "einfach" nach a um.

Lieber 'Mathespezialschüler' (Oh Mann - hast Du Dir den Namen etwa selber ausgesucht?!?!?),
die Begründung ist etwas ungenau. Wenn die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gezeigt ist, erlauben die Grenzwertsätze das oben beschriebene Vorgehen.

09.11.2004, 00:10

Hein Blöd

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RE: Übungsaufgabe analysis 1 macht kopfschmerzen

Zitat:

Original von Gast
$\begin{eqnarray*} \end{align*} Aus der Ungleichung $a_n^3\geq c$ folgt die Konvergenz von $a_n$. Beh.: $a_n^3\geq c$ für alle $n\geq1$. Beweis durch vollst. Induktion. Sei die Beh. für $n\in N$ bereits bewiesen.Aus der Induktionsvoraussetzung folgt: \begin{displaymath}6a_n^3c(a_n^3-c)+c(a_n^6-c^2)-8a_n^6(a_n^3-c) = (a_n^3-c)(\underbrace{7a_n^3c+c^2}_{\leq 8 a_n^6}-8a_n^6)\leq 0\end{displaymath}Nun zum Induktionsschritt: $(n\rightarrow n+1)$\begin{eqnarray*}(a_{n+1})^3& = & \left( \frac{2a_n^3+c}{3a_n^2} \right)^3\\ & = & \frac{8a_n^9+12a_n^6c+6a_n^3c^2+c^3}{27a_n^6}\\ & \geq & \frac{8a_n^9+12a_n^6c+6a_n^3c^2+c^3}{27a_n^6} + \underbrace{\frac{6a_n^3c(a_n^3-c)+c(a_n^6-c^2)-8a_n^6(a_n^3-c)}{27a_n^6}}_{\leq0}\\ & = & c\end{eqnarray*}\begin{align*} \end{eqnarray*}$

Das kapier ich nich traurig

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