Reihen, beweis... |
| 23.11.2003, 18:05 | sniff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Reihen, beweis... als 2. muss man noch das ganze für |x|>=1 machen. wäre für hilfe sehr dankbar |
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| 23.11.2003, 18:35 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Reihen, beweis... Ich weiß zwar nicht, ob das dazugehört, aber ich habe bei der Differentialrechnung etwas über die Grenzwertberechnung und |x|<1 gefunden. meinst du l i m k * x^k = x / (1-x)² ??? k->oo wenn ja, dann müsste man doch eigentlich für |x| < 1 rechnen l i m x / (1-x)² = 0 x->0 --> l i m k * 0^k = e k->oo ??? -> 
- naja, war ein versuch, bitte nicht :rolleyes: |
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| 25.11.2003, 17:50 | Mathefreak | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Sniff, Sei |x| < 1. Wir bilden die Summe aller Potenzen von x bis x^n S(n) = Sum[k = 1, n] k * x^k = x + 2x² + 3x³ + ... + n*x^n Der Trick besteht nun darin, die Summe S(n) - x * S(n) zu berechnet. Man erhält: S(n) = x + 2x² + 3x³ + ... + n*x^n x*S(n) = x² + 2x³ + ... + n*x^(n+1) => S(n) - x * S(n) = S(n)*(1 - x) = x + x² + x³ + ... + x^n - n*x^(n+1) S(n) = [x + x² + x³ + ... + x^n]/(1 - x) - n*x^(n+1)/(1-x) Es folgt nun der Schritt n->oo. n *x ^(n+1) ist Nullfolge (Beweis per de l'hopital), (1 - x) < 0 eine Konstante, daher ist n*x^(n+1)/(1-x) Nullfolge. ================================= Die rote Summe können wir Problemlos berechnen: T(n) = Sum[k = 1, n] x^k = x + x² + x³ + ... + x^n Selber Ansatz wie vorhin: T(n) - x * T(n) = T(n) * (1 - x) = x - x^(n+1) => T(n) = x(1 - x^n)/(1 - x) Es gilt nun lim(n->oo) T(n) = x/(1 - x), da x^n für n->oo Nullfolge, da |x|<1. ================================= Aus dieser Betrachtung der roten Summe folgt nun für S(n) und n->oo: lim(n->oo) S(n) = x/(1 - x)² Hinweis: Für |x| > 1 kannst du ähnlich vorgehen. Probier es einmal selbst. |
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