grenzwert einer rekursiv definierten folge

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fossy Auf diesen Beitrag antworten »
grenzwert einer rekursiv definierten folge
Xo=a
X1=b

Xn=1/2*(Xn-1 + Xn-2) für n>=2

gesucht ist lim Xn für n gegen unendlich

ich hab versucht mir die ersten paar glieder aufzuschreiben um vielleicht ne idee zu bekommen
vergebens

dass sie nicht monoton ist ist auch klar
dass es einen grenzwert gibt kann ich jetz nicht wirklich begründen
aber den müsste es geben denke ich

nur wie berechnen ?
mythos_r Auf diesen Beitrag antworten »
RE: grenzwert einer rekursiv definierten folge
Hi.

Das Beispiel ist mir gleich bekannt vorgekommen. Es ist das erste Bsp zu Folgen aus dem "Übungsbuch zur Analysis 1 (Otto Forster/Rüdiger Wssoly)". Falls du das Bücherl nicht hast, kann ich dir die Lösung gern posten.

Ich hab probiert die Lösung nachzuvollziehen, aber ohne Erfolg. (Ich hab leider noch zu wenig Ahnung von Analysis).

mfg mythos_r
fossy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: grenzwert einer rekursiv definierten folge
also wenn du die lösung hast wär klasse wenn du mir nen ansatz gibst
hab versucht das als produkt oder summe umzuschreiben aber bin nicht weit gekommen und
ne abschätzung nach oben und unten macht auch wenig sinn weil die folge nicht monoton ist

wichtig wenn ich schreibe Xn-1 meine ich X index n-1
mythos_r Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreib dir mal, was im Loesungsbuch steht:

Für alle natürlichen Zahlen k >= 1 gilt:

Xk+1 - Xk = 1/2(Xk+Xk-1) -Xk = (-1/2) (Xk-Xk-1)

Daraus folgt druch vollstaendige Induktion nach k:

Xk+1-Xk = (-1/2)^k(b-a) fuer alle k element von N.

Also gilt fuer alle n>=1:

Xn = X0 + (X1-X0) + (X2-X1) + ... + (Xn-Xn-1) = a + Summe(k=0; n-1)(Xk+1-Xk)
= a + Summe(k=0; n-1)(-1/2)^k (b-a)

Da Summe(k=0; unendl)(-1/2)^k = 2/3 (geometrische Reihe, konvergiert die Folge (Xn) mit dem Grenzwert:

lim(n;unendl)(Xn) = a + 2/3 (b-a) = 1/3 (2b+a)

So ist die Loesung.
1.) Wenn du die verstehst, waere toll, wenn du sie erklaeren koenntest.
2.) Ich hab ne Frage zu ner Grenzwertaufgabe (sollte einfach sein) ins Analysisforum gepostet, waere ebenfallens cool, wenn du mir die Frage beantworten koenntest.

n, n-1, k, k-1 sind wie bei dir alles Indizes, damit da keine Verwirrung entsteht.
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

lösungen abschreiben bringt nur sehr wenig...
X3 = 1/2 (a +b)
X4 = 1/2 b + 1/4 (a + b) = 1/4 a + 3/4 b
X5 = 1/4 (a + b) + 1/8 a + 3/8 b = 3/8 a + 5/8 b
X6 = 1/8 a + 3/8 b + 3/16 a + 5/16 b = 5/16 a + 11/16 b
X7 = 3/16 a + 5/16 b + 5/32 a + 11/32 b = 11/32 a + 21/32 b

das sind die nächsten 5 folgenglieder - und jetzt kann man sich mal dranmachen zu analysieren *fg*

Die zweierpotenzen im Nennen kommen durchs halbieren, die Zähler ergeben sich durch das erweitern des vorletzten bruchs plus den letzten (also wenn z die zählerfolge ist, gilt zn = 2 zn-2 + zn-1)
Jetzt muss man nur noch ne Formel dafür finden...
cubed Auf diesen Beitrag antworten »

hätte wer eine idee für solch eine formel??
nenner ist ja nicht schwer aber der zähler:

1 - 3 - 5 - 11 - 21 - 43 ...

da fällt mir irgendwie nichts sinnvolles zu ein!
 
 
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