eine Bibliothek räumt auf ;-) []

08.11.2004, 08:53

Sabrina S

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eine Bibliothek räumt auf ;-) []

Wie muss man Bücher stapeln, so dass der entstehende Turm so schief wie irgend möglich steht (natürlich ohne dabei umzufallen)? Man kann einen sehr interessanten mathematischen Zusammenhang zwischen der maximal möglichen Verschiebung und der erforderlichen Menge von (gleichartigen) Büchern finden.

Für die weiteren Überlegungen seien idealisierte Bücher mit einer Höhe von 32 cm angenommen. Welcher Überhang kann mit dem Bestand einer mittelgroßen Bibliothek, d.h. 91400 Büchern (alle gleich hoch !), erzeugt werden?
Der Richtungswinkel A (in Grad) wird durch die Zahl der Bücher definiert, die einen maximalen Überhang von 1,011 m erzeugen (es muss genau gerechnet werden!).

08.11.2004, 09:36

pimaniac

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RE: eine Bibliothek räumt auf ;-)
Das kommt nicht nur auf die Höhe sondern vor allem auf die Größe der Bücher an... Könnten wir also bitte Auskunft über Länge und Breite der Dinger bekommen?

08.11.2004, 10:14

Sabrina S

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die größe hat nicht wirklich einen Einfluß - nehmt einheitliche Bücher (also alle Bücher haben gleiche Länge und gleicher Breite wobei Länge und Breite nicht gleich sein müssen)! Mit diesen Daten ist es möglich zu rechnen (wir wollen es ja nicht zu einfach machen)

08.11.2004, 11:27

pimaniac

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RE: eine Bibliothek räumt auf ;-)

Zitat:

Der Richtungswinkel A (in Grad) wird durch die Zahl der Bücher definiert, die einen maximalen Überhang von 1,011 m erzeugen (es muss genau gerechnet werden!).

Den Satz versteh ich aber leider dennoch nicht ganz....

08.11.2004, 12:21

Sabrina S

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nicht schwer, Du musst einen Überhang zusammenbringen von 1,011m. Je mehr Bücher Du stapeln kannst umso steiler der Winkel, weniger Bücher flacherer Winkel da mehr Überhang.

Frage ist nach dem größtmöglichen Überhang bei den Büchern, also so wenig Bücher wie möglich.

Soweit verstanden?
Dann viel Spaß beim rechnen - bin ja schon gespannt, wer das lösen kann Idee!

Idee!

08.11.2004, 16:08

pimaniac

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Ok... Soweit ich glaub zwar noch immer die Angabe ist Unsinn aber ich versuchs dennoch mal:

Da ja angeblich die Größe der Bücher egal ist nehm ich zwei Bücher mit den MAßen 1km mal 1km mal eben 32 cm. Da erreich ich einen Üebrhang von ca. 500m das sollt reichen oder... Ich hoff du siehst jetzt ein dass es wohl doch auf die Größe der Bücher ankommt....

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09.11.2004, 08:05

Sabrina S

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hahaha, man sollte schon standartBücher nehmen! unglücklich

unglücklich

außerdem, wenn Du ein Buch 500 m überhängen läßt, dann kippt das Buch!

Welcher Überhang kann mit dem Bestand einer mittelgroßen Bibliothek, d.h. 91400 Büchern (alle gleich hoch !), erzeugt werden?

hiermit gebe ich bereits die Anzahl der Bücher vor, die gestapelt werden müssen!

Der Richtungswinkel A (in Grad) wird durch die Zahl der Bücher definiert, die einen maximalen Überhang von 1,011 m erzeugen (es muss genau gerechnet werden!).

hiermit gebe ich den Überhang an, bzw. wie weit die Bücher übereinander rausreichen!

Also nix von wegen 2 Bücher á 500 m!

09.11.2004, 18:23

pimaniac

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Es tut mir leid aber ich verstehs einfach nicht.
Ich werd dir ein paar Fragen stellen, würd mich über konkrete Antworten freuen.

1.) Meinst du mit 32cm wirklich dir Höhe der Bücher oder die Dicke?
2.) Kann man die Bücher irgendwie stapeln oder nur Seite an Seite oder nur Deckfläche an Deckfläche, oder kann man die Bücher im Endeffekt als Quader ansehen die man irgendwie übereinanderlegen kann
3.) Was sind Standardbücher, wenn es doch egal sein soll wie groß sie sind
4.) Woher hast du das Beispiel, bzw. bist du dir sicher dass so die Originalangabe lautete?
5.)"Der Richtungswinkel A (in Grad) wird durch die Zahl der Bücher definiert, die einen maximalen Überhang von 1,011 m erzeugen (es muss genau gerechnet werden!)." Kannst du mir den Satz bitte nochmal erklären. Nehmen wir an ich bräuchte 2524Bücher um 1,011m zu erzeugen, ist dann A=2524 (weil das würde deine Aussage heißen), aber woher kommt dann der Winkel?????

Übrigens: mit 1km mal 1km großen Büchern kann man sehrwohl einen Überhang von 500 Metern erreichen, sogar einen von rund 720 Metern wennst es egnau wissen magst

09.11.2004, 18:37

PK

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Ist ja irgendwo Schwerpunktabhängig, der maximale Überhang ist also (demnach doch bei 2 Büchern 1,011 m, das heißt, dann liegt das zweite Buch > als die Hälfte der Grundfläche des Buches auf dem ersten Buch drauf, mehr ist nicht drin), bei 91400 Büchern dürfen es auch nur 1,011 m oben sein, sonst kippt alles um, dann steht der Turm 1° schief, glaub ich, der Überhang ist doch dann 0,03 mm.

09.11.2004, 20:50

pimaniac

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Nein eben nicht du kannst Bücher z.B.: (idealisiert durch Rechtecke) so stapeln:

10.11.2004, 07:24

Sabrina S

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1.) Meinst du mit 32cm wirklich dir Höhe der Bücher oder die Dicke?

wenn ein Buch gestapelt wird, dann liegt es => Höhe = Dicke des Buches

2.) Kann man die Bücher irgendwie stapeln oder nur Seite an Seite oder nur Deckfläche an Deckfläche, oder kann man die Bücher im Endeffekt als Quader ansehen die man irgendwie übereinanderlegen kann

stapeln tut man übereinander - NICHT nebeneinander!

3.) Was sind Standardbücher, wenn es doch egal sein soll wie groß sie sind

Du willst mir doch ein 1km Buch nicht als Standard verkaufen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Eben "normale" Bücher solche wie Du sie im Bücherregal auch hast

4.) Woher hast du das Beispiel, bzw. bist du dir sicher dass so die Originalangabe lautete?

es ist aus dem Original kopiert! und da auch von vielen als gelöst geloggt! Es ist also auch schion von anderen gemacht worden!

5.)"Der Richtungswinkel A (in Grad) wird durch die Zahl der Bücher definiert, die einen maximalen Überhang von 1,011 m erzeugen (es muss genau gerechnet werden!)." Kannst du mir den Satz bitte nochmal erklären. Nehmen wir an ich bräuchte 2524Bücher um 1,011m zu erzeugen, ist dann A=2524 (weil das würde deine Aussage heißen), aber woher kommt dann der Winkel?????

Der Stapel ist wie gesagt nicht nebeneinander sondern übereinander. D.h. jedes Buch liegt versetzt auf einem anderen. Dadurch entsteht eine Schräge und eine Schräge hat bekanntlich einen Winkel - na und schon haben wir den Richtungswinkel Tanzen

Tanzen

Übrigens: mit 1km mal 1km großen Büchern kann man sehrwohl einen Überhang von 500 Metern erreichen, sogar einen von rund 720 Metern wennst es egnau wissen magst

Wenn Du das Buch um 750m versetzt auf den untere Buch legst, dann kippt das Buch nach unten!!! Das soll ja nicht der Fall sein! Trenn Dich mal von Deinen km-Büchern Immerhin musst Du 91.400 Bücher stapeln!!!

10.11.2004, 09:39

pimaniac

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Ok letzter Versuch:

Schau dir das erste Bild an: Lieg ich richtig dass du mit x den Überhang meinst?

BIst du dir Sicher dass es dann nicht auf die Größe der Bücher ankommt wie groß dieser ist? Nimm z.B. an das eines der Bücher 20 cm hoch ist, bist du dir sicher dass der Überhang dann gleich groß ist wie wenn ein Buch 30cm hoch ist? Falls dir noch immer nicht klar ist dass es auf die Größe der Bücher ankommt: Leg zwei Bücher übereinander: Ich glaub dann sollte es klar sein dass du mit 2 Bücher von 20 cm Höhe einen Überhang von 10cm erzeugen kannst mit zwei Büchern von 30cm Höhe einen Überhang von 15cm. Ich hoff du verstehst jetzt was ich mein dass es nicht egal sein kann wie groß die Bücher sind. Und ich glaub man kann sowohl ein Buch mit 20cm Höhe als auch ein Buch mit 30 cm Höhe als Standardbuch bezeichnen. Übrigens hab ich persönlich noch nie ein Buch gesehen was 32cm dick war.... soviel zu deinen "Standardbüchern"

10.11.2004, 09:46

Sabrina S

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die Buchhöhe (Dicke) ist immer 32 cm (ist angegeben!) wenn Du natürlich 10 und 20 cm dicke Bücher nimmst, dann bekommt man was anderes raus - deswegen die Angabe 32 cm.

Solche Bücher gibt es übrigens wirklich - schau mal in eine alte Bibiothek, da findest Du viele dieser alten dicken "Schmöcker" und das Beispiel geht ja auch um eine Bibliothek die aufräumen will Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein x ist genau das was ich mit überhang meine smile

smile

10.11.2004, 11:10

pimaniac

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Mit den 20 oder 30cm mein ich nicht die Dicke der Bücher sondern wirklich dir Höhe.... also die Breite wenn man sie stapelt.... verstehen wir uns jetzt?????

10.11.2004, 11:18

Sabrina S

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bei dem geringen Überstand ist das unrelevant

10.11.2004, 15:10

pimaniac

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Ok, ich probier mal das ganze mathematisch zu lösen...

Schaut man sich das erste unten angehängte Bild an sollt klar sein worums geht... der Schwerpunkt aller Bücher über einem bestimmten Buch muss genau über der linken Kante dieses Buches zu liegen kommen damit das Ding nicht umfällt.

Sei S(i) Koordinaten (sx(i);sy(i)) der Schwerpunkt der Gruppe der i-letzten Bücher, M(i) mit Koordinaten (mx(i);my(i)) der Schwerpunkt des i-letzten Buches. Weiters sei x die Höhe (wenns liegt die Breite) sowie y die Dicke (wenns liegt die Höhe) eines Buches. Das ganze bette ich in ein Koordinaten system mit Ursprung=M(1) und positiver x-Achse nach rechts und positiver y-Achse nach unten. Es gilt klarerweise

S(1)=M(1)=(0;0)
M(k)=(sx(k-1)+x/2;my(k-1)+y)=(sx(k-1)+x/2 ; (k-1)*y)
S(k)=(((k-1)*sx(k-1)+mx(k))/k ; ((k-1)*sy(k-1)+my(k))/k)=(sx(k-1)+x/(2k) ; (k-1)*(sy(k-1)+y)/k)

Im Prinzip muss jetzt nur noch festgestellt werden wann sx(k)+x/2 größer als 1,011m ist, weil ja sx(k)+x/2 (x/2 muss fürs oberste Buch dazugezälht werden) genau der Gesamtüberhang der Bücher ist.
Also:
sx(k)+x/2=sx(k-1)+x/(2k)+x/2 =x/2+x/4+x/6+x/8+x/10+....=x/2*(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+....)
Dieser Ausdruck ist genau dann größer als 1,011 wenn die k-te Teilsumme der harmonischen Reihe größer als 2,022/x (x in m) ist.
Was sieht man also jetzt:

Es hängt sehrwohl von der Höhe (bzw. Breite) der Bücher ab wieviele man braucht. z.B.: x=1 A=4 oder x=0,3(=30cm) A=475
Von der Dicke der Bücher (bzw. Höhe) ist das Ergebnis natürlich nicht abhängig.

Hoff du wir verstehen uns diesmal
Bei Fragen bitte fragen

10.11.2004, 16:29

JudgeNot

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RE: eine Bibliothek räumt auf ;-)
Näheres zu diesem Rätsel findet man hier:
http://www.wundersamessammelsurium.de/Me...nkte/index.html

Allerdings wird auch die Lösung verraten. Also kein Link für Leute die weiterrätseln wollen ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.11.2004, 22:46

pimaniac

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RE: eine Bibliothek räumt auf ;-)
Das wird ja immer entäuschender....

Wenn man schon fremde Rätsel postet dann bitte Richtung und nur wenn man die Lösung auch versteht... Hab mir die Seite angeschaut, die entspricht ja im Prinzip meiner Lösung, falls dir auffällt ist da aber auch immer mom z.B.: 227 FACHEN!!!!!!!!!!! Überhang (sprich von der Größe eines Buches) die Rede...

Übrigens... hab deien 94100 Bücher grad in die Formel eingesetzt, Überraschung dass da fast eine ganz Zahl (6,0001-FACHER!!!!! Überhand rauskommt) Das heißt deine Bücher wären 16,8cm groß wenn dein Überhang 1,011 meter sein soll....

Ich hoff du siehst jetzt endlich ein dass es auf die Größe der Bücher ankommt...

10.02.2005, 14:11

kurellajunior

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RE: eine Bibliothek räumt auf ;-)
Cooles Rätsel, spannende Diskussion verwirrt

verwirrt

hab die Lösung noch nicht gelesen, aber denk mal laut und ergänze die Angaben so, dass man damit arbeiten kann:
Eine Biliothek mit lauter gleichformatigen Büchern:
Ein Buch hat stehend folgende Dinge:
Eine Breite $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$
Eine Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$
und eine Tiefe $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

Ich lege fest: $\begin{eqnarray*} d<x<h \end{eqnarray*}$ Damit können wir x für die weitere Betrachtung weglassen und uns ganz auf den Buchrücken $\begin{eqnarray*} d \times h \end{eqnarray*}$ konzentrieren:
Wir suchen den Versatz $\begin{eqnarray*} v(n) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Büchern. Die Gesamtlänge eines Buchsystems nenne ich $\begin{eqnarray*} l(n) \end{eqnarray*}$
Der Einfachheit nehmen wir an, das ein Buch(system) auch dann stabil liegt, wenn sein Schwerpunkt genau auf der Kante des darunterliegenden Buches liegt.

Also 2 Bücher:
Versatz des ersten Buches gegenüber dem unteren Buch:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{r@{=}lr@{=}l} v(2)&\frac{1}{2}h&l(2)&h+v(2)\end{array} \end{eqnarray*}$

Da der Versatz immer die halbe Länge des darüber liegenden Systems ist,
Weiter mit Rekursion:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{r@{=}lr@{=}l} v(2)&\frac{1}{2}h&l(2)&h+v(2)=h\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ v(3)&\frac{1}{2}l(2)=\frac{1}{2}h\left(1+\frac{1}{2}\right)&l(3)&h+v(3)=h+\frac{1}{2}h\left(1+\frac{1}{2}\right)=h\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\\ v(4)&\frac{1}{2}l(3)=h\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)&l(4)&h+v(4)=h\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right) \end{array} \end{eqnarray*}$
So das reicht, sonst krieg ich nen Latex Knoten Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich finde das reicht für die Vermutung, den Beweis mit vollständiger Induktion lass ich jemandem der Lust hat Hammer

Hammer

:
$\begin{eqnarray*} v(n)=h\sum_{i=1}^{n-1}~{{\frac{1}{2}}^{i}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v(1)=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} l(n)=h\sum_{i=0}^{n-1}~{{\frac{1}{2}}^{i}} \end{eqnarray*}$
Ooh mein Gedächtnis, Jemand hilf ich hab die allgemeine Bildung für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}~{x^i}= \end{eqnarray*}$ vergessen, aber dann wüssten wir die Formel für den Versatz.
Ich könnt mich in den Hintern beißen, bitte hilf mir jemand und rette mich vor der Selbstverstümmelung. Sonst muss ich das rekursiv machen, arrgh.

Allerdings an den Grenzwert erinnere ich mich glaube ich, der müsste doch sein:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}~{\left[h\sum_{i=1}^{n-1}~{{\frac{1}{2}}^{i}}\right]}=1 \end{eqnarray*}$
oder? verwirrt

verwirrt

11.02.2005, 13:02

pimaniac

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ne leider deine Lösung passt nicht....

Überleg dir ob der Versatz wirklich die halbe Länge des darüberliegenden Systems ist... (du musst schauen wo der Schwerpuntk des darüberliegenden Systems liegt)

11.02.2005, 14:03

kurellajunior

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mmh, nochmal
Danke für den Hinweis, war wohl gestern zu schnell...
Aber immerhin wäre der Turm bei meiner Lösung nicht umgekippt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gleiche Annahmen wie oben, aber der Versatz gegenüber dem nächsten System ist gleichbedeutend mit dem Schwerpunkt eines Systems. Es reicht also den Schwerpunkt zu berechnen. Dabei sollte gelten: $\begin{eqnarray*} s(n)=v(n+1) \end{eqnarray*}$ .
Als Ansatz nehme ich hier die Mittelwertbildung bei bekanntem Mittelwert und einem neuen Wert:
$\begin{eqnarray*} \overline{a_{n+1}}= \frac{n\cdot\overline{(a_n)}+a_{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ wobei mit $\begin{eqnarray*} \overline{a_n} \end{eqnarray*}$ der Mittelwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gemeint ist
Dieser iterative Ansatz wird gerne in der Informatik verwendet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich nehme hier den Abstand von links als Schwerpunkt, wobei das oberste Buch ganz links anliegt. Alles klar? also dann:
$\begin{eqnarray*} s(1)&=\frac{1}{2}h\\ s(2)&=\frac{1}{2}\cdot\left[1\cdot s(1)+\left(s(1)+\frac{1}{2}h\right)\right]= \frac{1}{2}\left(2s(1)+\frac{1}{2}h\right)= \frac{1}{2}h+\frac{1}{4}h= \frac{3}{4}h\\ s(3)&=\frac{1}{3}\cdot\left[2s(2)+\left(s(2)+\frac{1}{2}h\right)\right]= \frac{1}{3}\left(3s(2)+\frac{1}{2}h\right)= s(2)+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}h= \frac{3}{4}h+\frac{1}{6}h=\frac{11}{12}h\\ s(4)&=\frac{1}{4}\left(4s(3)+\frac{1}{2}h\right)= s(3)+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}h= \frac{11}{12}h+\frac{1}{8}h=\frac{25}{24}h \end{eqnarray*}$
Vermutung:
$\begin{eqnarray*} s(n)=s(n-1)+\frac{h}{2n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s(0)=0 \end{eqnarray*}$
So jetzt muss daraus nur noch eine allgemeine Vorschrift werden :denk:

01.04.2010, 23:42

Olley

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Leute- von den Schwerpunkten her ergibt sich doch eher die Summe:
1/2+1/4+1/6+1/8+...+1/(2(n-1))

Und die dann mal 0,32m

Lehrer

Lehrer

Beründung: Das oberste Buch kann um die Hälfte verschoben werden, dann liegt der Schwerpunkt auf der Kante des einen "Stock" tieferen Buches. Der Schwerpunkt der beiden obersten Bücher muss auf der Kante des drittobersten Buches liegen. Dies ist der Fall, wenn das zweitoberste Buch um ein Viertel übersteht. Denn dann steht vom obersten Buch 3/4 über und vom zweitobersten 1/4 (gegenüber dem drittobersten). Ebenso liegen aber vom obersten ein Viertel und von dem darunter drei Viertel drauf. Also liegt der Schwerpunkt genau auf der Kante. Bei Vier Büchern liegt bei einer Verscheibung von 1/6 der Schwerpunkt auf der Kante (oberstes liegt mit 22/24 draußen und zwei 2/24 drinne, also 20/24 resultierend draußen, zweites mit 10/24 draußen und 14/24 drinne, also resultierend -4/24 draußen[man beachte das minus], drittes liegt mit 4/24 draußen und 20/24 drinne-macht resultierend -16/24 draußen-die Summe ergibt 20/24 - 4/24 - 16/24=0, also gerade der Schwerpunkt). Die nächste (von oben) ist ein Achtel der Bücherlänge. Durch die Verscheibung des zweituntersten Buches gegenüber verschieben sich die Schwerpunkte der oberen alle mit. Bei n Büchern, die zum Buch darunter um die Differenz 1/x relativ verschoben werden, verschiebt sich der Schwerpunkt um n/x wobei x die relativ verschobene Größe des Buches ist. Da n/x maximal 1/2 werden darf (pro hinzukommenden Buch darf der Schwerpunkt ja nur um ein halbes Buch verschoben werden). Also gilt bei n verschobenen Büchern für das unterste Buch die maximale Verschiebung von 1/(2n). Das erste Buch berührt aber den Boden und kann daher überhaupt nicht verschoben werden (oder darf man hier die volle Länge des Buches mitzählen-hier finde ich die Aufgabe etwas unklar), wodurch bei n Büchern nur n-1 verschoben werden können. Folgende Überlegungen führen zu obigen Formel.

Witzigerweise wächst das ganze bei unendlich Büchern auch unendlich lange weiter (kein Grenzwert), nur eben sehr langsam (logarithmisch???).

Soweit ich weiß, gibt es für diese Funktion keine exakte Formel sondern nur eine Näherungsfunktion. Wenn ich programmieren könnte, würde ich das jetzt mit einem Programm erledigen.

@pimaniac: Deine Idee ist zwar gut und intelligent überlegt, aber nicht sonderlich durchdacht. Die Bücher werden bei dri nicht mehr wirklich gestapelt. Nimmst du aus der obersten Reihe den zweiten Stein von rechts (oder links) heraus fälllt der Stein in der zweiten außen runter. Das System hält also nicht aufgrund der Schwerpunkte, sondern, weil ein zweiter Stein von oben den anderen "festdrückt".

01.04.2010, 23:53

Olley

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Schaut euch mal die Dimensionierungen eines Buches an. Die lange Seite- das sind die 32cm. Wenn die Fläche einer Seite nehmen. Dann ist davon mit der langen Seite die Höhe gemeint. So stellen wir die Dinger schleißlich auch ins Regal. Die anderen Größen sind unwichtig. Wichtig ist nur, dass die Verschiebungen entlang der Höhe stattfinden. Ihr könnt euer Buch also ruhig einen km lang und dick machen-solange ihr nur entlang der 32cm-Seite verschiebt.
Alles andere ist unsinnig.
LOL Hammer

LOL Hammer

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