Mehrdimensionale Analysis |
| 24.11.2003, 18:53 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Mehrdimensionale Analysis r(Vektor) sei ein Ortsvektor des R3, ferner sei r der Betrag von r(Vektor). Soweit Klar! p und r0 seien konstante Vektoren, phi sei eine konstante reele Zahl. Es soll jeweils der Gradient der beiden folgenden Skalarfelder (Abbiödung von R3 in R) berechnet werden. Die Ergebnisse sollen in Vekordarstellung unter Benutzung von r(Vektor), r0(Vektor) und a(Vektor) und r geschrieben werden. a) U(r(Vektor))= phi/|r(Vektor)-r0(Vektor) Ich habe jeweils die Vektoren des R3 mit (Vektor)gekenzeichnet. Nun wie soll ich diese Aufgabe lösen? Bin sehr dankbar für gute und schnelle Tipps! MfG Sascha |
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| 24.11.2003, 18:54 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei Aufgabe a) habe ich den zweiten Betragsstrich vergessen unter dem Bruch. Sorry |
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| 24.11.2003, 22:34 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi. Schreib dir das doch einfach mal komponentenweise hin, dann ist es schon kein Problem mehr. Ich weiß nicht genau, warum du p und a erwähnst, zumindest sehe ich von denen in der Aufgabe nichts (gibt es noch mehr als a)?), aber für die Aufgabe, die dasteht, geht es wie folgt: phi/|r-r0| ist dein Skalarfeld r und r0 seien im Folgenden stets Vektoren, ich schreibe das nicht immer dahinter. r ist in Komponenten ja gerade (x,y,z) und r0 sei einfach mal (f,g,h) mit 3 Konstanten f,g,h. Dann wird dein Skalarfeld zu phi/|(x,y,z)-(f,g,h)| =phi/|(x-f,y-g,z-h)| und mi tder Definition des Betrages: phi/sqrt((x-f)^2+(y-g)^2+(z-h)^2) Davon musst du jetzt ja einfach die 3 partiellen Ableitungen bilden, nach x, nach y und nach z. Diese sind ganz einfach: Wie du selbst leicht nachrechnest, ergibt sich für die partielle Ableitung nach x -phi*(x-f)/sqrt((x-f)^2+(y-g)^2+(z-h)^2)^3=-phi*(x-f)/|r-r0|^3 Für y und z entsprechend: -phi*(y-g)/|r-r0|^3 udn -phi*(z-h)/|r-r0|^3 Der Gradient lautet damit: -phi*(x-f,y-g,z-h)/|r-r0|^3 und im Zähler erkennt man ja einfach wieder r-r0, also das Endergebnis: phi*(r0-r)/|r-r0|^3 Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe und dass du es verstanden hast. Wenn nicht, frag einfach nach. Gruß Philipp |
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| 25.11.2003, 09:58 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Tut mir leid die Ableitung nach x,y,z verstehe ich nicht! Wäre schön wenn du die noch ein wenig genauer erläutern könntest! Vielen DAnk im vorraus MfG Sascha |
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| 25.11.2003, 12:32 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mit (x-f)^2+(y-g)^2+(z-h)^2=u bekommt man phi/sqrt(u)=phi*u^(-1/2) Das abgeleitet gibt -1/2*phi*u^(-3/2)=-1/2*phi/sqrt(u)^3 Hier wird aber nicht nach u, sondern nach x, y oder z abgeleitet, also muss man jeweils noch mit der partiellen Ableitung von u nach den dreien multiplizieren, und zum Beispiel die nach x ist ja einfach 2*(x-f) Also erhält ist die partielle Ableitung nach x von dem ganzen einfach 2*(x-f)*(-1/2)*phi/sqrt(u)^3=-(x-f)*phi/sqrt(u)^3 und für sqrt(u) kann man auch gerade |r-r0| schreiben und schon steht es da. Jetzt klar? |
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| 25.11.2003, 13:08 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
JA ist klar! Jetzt habe uich noch eine Aufgabe b) Die lauted wie folgt: [p(Vekto) Skalarprodukt r(Vektor)]/r³ ICh habe als Partielle Ableitungen für x,y,z x=[-3x(p(Vektor) Skalarprodukt r(Vektor))]/(r hoch 5) Und für y,z das gleiche bis auf das x im zähler das jeweils zu y,z wird. Und sdamit habe ich für den Gradienten gradV(x,y,z)= [-3(x,y,z)(p(Vektor) Skalarprodukt r(Vektor))]r hoch 5 Und somit: gradV(r)=[-3r(Vektor)(p(Vektor) Skalarprodukt r(Vektor))]/r hoch 5 Stimmt das so. Die definitionen für r hatte ich ganz oben schon genannt! Vielen DAnk für die schnelle Hilfe! |
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| 25.11.2003, 15:33 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi. Das stimmt leider nicht, du scheinst die Quotientenregel falsch angewendet zu haben. Sei p in Komponenten (p1,p2,p3) und r wieder (x,y,z) Dann lautet dein Skalarfeld (p1*x+p2*y+p3*z)/sqrt(x^2+y^2+z^2)^3 =(p1*x+p2*y+p3*z)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) Quotinenregel für die partielle Ableitung nach x: [p1*(x^2+y^2+z^2)^(3/2)-(p1*x+p2*y+p3*z)*3/2*(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*2*x]/(x^2+y^2+z^2)^3 Kürzen: [p1*(x^2+y^2+z^2)-(p1*x+p2*y+p3*z)*3*x]/(x^2+y^2+z^2)^(5/2) Zurückschreiben: [p1*|r|^2-p*r*3*x]/|r|^5 Für y und z entsprechend mit p2 bzw p3 statt p1 und y bzw z statt x. Also für den Gradienten: [p1*|r|^2-p*r*3*x]/|r|^5 [p2*|r|^2-p*r*3*y]/|r|^5 [p3*|r|^2-p*r*3*z]/|r|^5 Das kann man in eine Summe aus 2 Vektoren auseinanderziehen und |r|^2 rausholen, um anschließend mit |r|^5 zu kürzen. Beim 2. Vektor kann man 3*p*r rausholen und erhält als Endergebnis: p/|r|^3-3*p*r/|r|^5*r Dabei ist das erste Sternchen eine Skalarmultiplikation, das 2. ein Skalarprodukt und das letzte wieder eine Skalarmultiplikation. Ich fürchte fast, mcih verrechnet zu haben, ich schuae nochmal drüber. Gruß Philipp |
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| 25.11.2003, 15:34 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, mein 2. Summand ist gneau dein Ergebnis. Ich lese also entweder irgendwie die Aufgabe falsch oder du hast die Quotientenregel nicht bzw falsch angewendet. |
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| 25.11.2003, 17:59 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich glaube ich weiß was ich falsch gemacht habe, ich habe das r im Zähler als konstante betrachtet und somit einige komponenten weg gelasse. weil durch r Skalarprodukt p ergibt sich ja abgeleitet p(x) bzw p(y) p(z) Und somit als Gradienten nur für den Zähler: p Naja werde wohl nochmal nachrechnen aber vielen vielen dank Für deine Hilfe! |
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