Beziehung: Gerade und Ebene

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PG Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehung: Gerade und Ebene
Hi
Wir haben folgende Geradenschar
mit



Nun soll ich es auf alle möglichen Beziehungen in Abhängigkeit von a untersuchen

Es gibt ja:
1. Schnittpunkt
2. parallel
3. Gerade liegt auf E
Ich weiß wie man alle Fälle untersucht AUßER Fall 3.
Kann mir da einer vielleicht helfen?

für Fall 1 habe ich


Und für Fall 2
und


da gilt
Fall 3 kann also nur noch ein Wert von Fall 1 sein, das wiederum nicht zu Fall 1 gehört.
Nur wie kann ich diese Werte ausrechnen?

editiert: + hinzugefügt (siehe tigerbines's Beitrag)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beziehung: Gerade und Ebene
Fehlt da nicht ein "+" in der Geradendarstellung?

Wenn die Gerade in der Ebene liegt, dann kannst Du doch 2 Punkte von ihr wählen und die müssen dann in der Ebene liegen.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und wie kann ich das prüfen?
Ich setze ein Punkt ein und dann? Was mache ich mit den nächsten Punkt.

edit:Oder meinst du beide Punkte in der Koordinatenform der Ebene einsetzen und dann gleichsetzen und schauen, wann die Gleichung erfüllt ist?

edit2: Oder meinst du, dass ich den Ortsvektor in der Koordinantenform der Ebene einsetzen muss und dann untersuchen, für welches a der Punkt enthalten ist. Ist dieses a ein a, das ich auch für echt paralle berechnet habe, so ist dieses a das a, durch die die Gerade auf der Ebene liegt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also seien P,Q zwei Punkte auf der Geraden mit







Beide sollen der Ebenengleichung genügen.








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Würde jetzt eben möglichst einfach wählen. Es muss ja für alle aus gelten.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, nun muss ich das Gleichsetzungssystem lösen( wenn ich z.B. und gewählt habe) und der Wert für a ist dann der Wert a, durch den die Gerade auf der Ebene liegt?

Wenn ein Widerspruch entsteht? Ist es dann parallel oder schneidet es die Ebene?
Wenn eine wahre Aussage entsteht? Was ist dann?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kleinen Moment, bitte Wink
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gehen wir es also nochmal von vorne an. 3 Fälle:

1. Schnittpunkt

2. Parallel

3. In der Ebene


Damit die Gerade in der Ebene liegen kann, muss ja zumindest der Aufpunkt darin liegen also wählen wir . Dann erhalten wir:



Nun wählen wir z.B. und schauen, ob mit a= -1.5 die Gleichung dann auch gilt:



D.h. für a=-3 liegt die gerade in der Ebene. Dass sie dann auch parallel ist (mit dem Abstand 0) ist klar.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich die Komponenten des Ortsvektor in die Koordinatenform einsetze, dann erhalte ich:




und wir wissen, dass für a=-3 die Gerade parallel. also heißt es doch, dass die Gerade für a=-3 auf der Ebene liegt.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir bitte noch heute darauf antworten...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry PG,

ich hatte oben eine Klammer falsch aufgelöst. Habe es editiert. durch überprüfen des Aufpunktsvektors im Falle a=0 siehst Du danach auch, dass diese Gerade echt parallel zur Ebene ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich doch Wink
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Vielen und nochmals vielen Danke für die große Mühe!! Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

so geht es auch:

1)





2) für alle anderen a existiert ein schnittpunkt mit

werner
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Zusatz Gott
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist künstlich kompliziert gestellt. Die Sache ist nämlich in Wirklichkeit viel einfacher. Zunächst liegt für überhaupt keine Gerade vor (siehe auch Werners Beitrag), da der vermeintliche Richtungsvektor hierfür der Nullvektor ist. Entweder ist also die Aufgabe falsch gestellt oder du hast die Bedingung bei der Aufgabenstellung vergessen. Für kann man durch den Parameterwechsel



die Gerade auch so beschreiben:



Setzt man die Koordinaten in die Ebenengleichung ein, erhält man



Für ist die Gleichung nicht nach auflösbar. Da die falsche Aussage entsteht, bedeutet dies, daß und keine Punkte gemeinsam haben, also echte Paralleltität. Für alle anderen kann man die Gleichung eindeutig nach auflösen: und schneiden sich in einem Punkt.
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