2 Aufgaben (Uni-Mathe)

08.11.2004, 20:43

Gast

2 Aufgaben (Uni-Mathe)

Ich komme mit meinen Matheaufgaben nicht klar!

1) Berechne und stelle in kartesischer Schreibweise dar:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1-i}{1+i})^{10} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (-3 + 2i)^{4} \end{eqnarray*}$

2) Zerlege über den komplexen Zahlen in Linearfaktoren
$\begin{eqnarray*} p(x)=x^{3}+(1+i)x^{2}+(2+i)x+2 \end{eqnarray*}$

Vielen lieben Dank für eure Hilfe!

08.11.2004, 20:56

Anaiwa

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RE: 2 Aufgaben (Uni-Mathe)
$\begin{eqnarray*} (\frac{1-i}{1+i})^{10} \end{eqnarray*}$ vereinfache dir das doch erstmal

$\begin{eqnarray*} (\frac{(1-i)(i+1)}{1+i})^{10} \end{eqnarray*}$ dann kanst de kürzen

$\begin{eqnarray*} (1-i)^{10} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (-3 + 2i)^{2}*(-3 + 2i)^{2} \end{eqnarray*}$

so denke ich mir das erstmal.

08.11.2004, 21:16

Calvin

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RE: 2 Aufgaben (Uni-Mathe)
@Anaiwa

Bei der ersten Aufgabe ist dir ein Fehler unterlaufen. Das Umschreiben ist so nicht richtig. Der Zähler würde 2 ergeben.

@gast
Bei der ersten Aufgabe mußt du mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitern. Dann kannst du die Zahl schnell in Real- und Imaginärteil zerlegen. Anschließend die Zahl in der Form $\begin{eqnarray*} \mid z \mid e^{i\phi} \end{eqnarray*}$ umschreiben. Dann ist das potenzieren mit 10 schnell gemacht.

Bei der zweiten Aufgabe kannst du es analog machen. Oder so, wie Anaiwa es beschrieben hat.

Bei der letzten Aufgabe kannst du dir eine Lösung erraten und durch Polynomdivision das Polynom um einen Grad verringern. Die weiteren Lösungen bekommst du dann mit der pq-Formel.

Gruß
Tobi

08.11.2004, 21:26

Gast

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RE: 2 Aufgaben (Uni-Mathe)

Zitat:

Original von Calvin
@gast
Bei der ersten Aufgabe mußt du mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitern. Dann kannst du die Zahl schnell in Real- und Imaginärteil zerlegen. Anschließend die Zahl in der Form $\begin{eqnarray*} \mid z \mid e^{i\phi} \end{eqnarray*}$ umschreiben. Dann ist das potenzieren mit 10 schnell gemacht.

Vielen Dank für eure Hilfe, aber ich bin so eine Mathenoobiene, ich weiß mit deinem Vorschlag einfach nichts anzufangen. unglücklich

Zitat:

Bei der letzten Aufgabe kannst du dir eine Lösung erraten und durch Polynomdivision das Polynom um einen Grad verringern. Die weiteren Lösungen bekommst du dann mit der pq-Formel.

Mein Problem sind einfach die komplexen Zahlen! Ich habe schon ein paar Tuts / Scripte gelesen, ich weiß was sie darstellen (naja smile

), ich weiß die Definitionen... aber ich verstehe die Übungsaufgaben nicht.

Viele liebe Grüße,
Jenny

08.11.2004, 21:43

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} (-3 + 2i)^{2}*(-3 + 2i)^{2} \end{eqnarray*}$

du kannst doch sichr Binomische Formel lösen!!!!

$\begin{eqnarray*} (4i^2-12i+9)*(4i^2-12i+9) \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} 16i^4-48i^3-48i^3+36i^2+36i^2+144i^2+108i-108i+81 \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} 16i^4-96i^3+216i^2+81=i^4-6^3i+13,5i^2+\frac{81}{16} \end{eqnarray*}$

so und hier betrachtest du i wie x!!! --> polynomdivison

Rechne aber noch mal nach, ob ich richtig gerechnet habe!

08.11.2004, 21:44

Calvin

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RE: 2 Aufgaben (Uni-Mathe)
Hi Jenny,

sei z=a+ib eine komplexe Zahl. Dann ist z*=a-ib die dazugehörige konjugiert komplexe Zahl.
Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi=\arctan{(b/a)} \end{eqnarray*}$ , falls a>0 und $\begin{eqnarray*} \phi=\arctan{(b/a)}+\pi \end{eqnarray*}$ , falls a<0.

Damit ist $\begin{eqnarray*} z=a+ib=\mid z \mid e^{i\phi}=\mid z \mid (\cos{\phi}+i\sin{\phi}) \end{eqnarray*}$

Probiere damit mal die erste Aufgabe, indem du die Hinweise in meinem letzten Posting beachtest.

Versuche die Aufgabe (-3+2i)^4 so zu lösen, wie von Anaiwa beschrieben. Das funktioniert genau so, wie mit reellen Zahlen. Das einzige, was du beachten mußt ist, dass i^2=-1. Mehr nicht. Ebenso funktioniert das auch mit der letzten Aufgabe.

Probiere es einfach mal aus. Das ist einfacher, als du denkst.

@Anaiwa

Tut mir leid, da ist schon wieder ein Fehler drin Augenzwinkern

Beim letzten Ausmultiplizieren hast du einen Vorzeichenfehler drin. Die +108i müssen -108i sein. Außerdem darfst du auf keinen Fall im letzten Schritt durch 16 teilen.

Ergebnis ist dann -119-i120

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion. (MSS)

08.11.2004, 21:55

Anaiwa

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Zitat:

Original von Calvin
@Anaiwa

Tut mir leid, da ist schon wieder ein Fehler drin Augenzwinkern

Beim letzten Ausmultiplizieren hast du einen Vorzeichenfehler drin. Die +108i müssen -108i sein. Außerdem darfst du auf keinen Fall im letzten Schritt durch 16 teilen.

Ergebnis ist dann -119-i120

Deshalb sagte ich ja Nachrechnen ^^ buin auch net so bewander mit dem zahlen wie du siehst.

08.11.2004, 22:15

Gast

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Und...
$\begin{eqnarray*} i^{2}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i =\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^{3}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^{4}=+1 \end{eqnarray*}$

... setze ich dann entsprechend an dieser Stelle ein, ja?
$\begin{eqnarray*} 16i^4-48i^3-48i^3+36i^2+36i^2+144i^2-108i-108i+81 \end{eqnarray*}$

Und dann rechne ich den ganzen Term aus, richtig? Mit entsprechendem i usw? Werds mal gleich probieren.

Vielen lieben Dank euch beiden! Ich hoffe hiermit und ein paar Büchern werde ich es schaffen... obwohl mich die Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners derzeit eher verwirrt

Bin halt gerade angefangen mit dem Studium und noch nicht so ganz im "Trott". Dieses ist der 3. Übungszettel (seit mitte Oktober) und ich finde das geht schon für nen Erstsemester ganz gut zur Sache, oder?

Gruß,
Jenny

08.11.2004, 22:19

Anaiwa

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Zitat:

Kenn ich nur zu gut Augenzwinkern

08.11.2004, 22:22

Calvin

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Zitat:

Original von Gast
$\begin{eqnarray*} i^{2}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i =\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^{3}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^{4}=+1 \end{eqnarray*}$

Fast richtig:
$\begin{eqnarray*} i=i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^3=-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i^4=1 \end{eqnarray*}$

Damit kannst du deine Aufgabe jetzt fertigrechnen.

Zitat:

Original von Gast
Vielen lieben Dank euch beiden! Ich hoffe hiermit und ein paar Büchern werde ich es schaffen... obwohl mich die Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners derzeit eher verwirrt

Mach es einfach mal. Du wirst sicher selbst sehen, warum das sinnvoll ist. Damit du keine Fehler machst, hier noch die Erweiterung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \end{eqnarray*}$

Gruß
Tobi

08.11.2004, 22:29

Gast

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In meiner Formelsammlung aus dem Abi (Klett; Formelsammlung A) steht es genau so drin, wie von mir gepostet! Hab mich schon gefragt was diese
$\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$
Nummer soll...

09.11.2004, 09:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gast
Hammer

Das ganze ist einfach nur eine mathematische Definition.
Man definiert den Raum der komplexen Zahlen als die Menge der Zahlen z mit z = a + i * b sowie Additions- und Multiplikationsregeln und mit der Eigenschaft, dass i² = -1 ist. Dann untersucht man das ganze und stellt fest, dass die ganzen Regeln, die man von den reellen Zahlen kennt, auch für die komplexen Zahlen gelten. Das erfreut das Herz des Mathematikers natürlich riesig.
Das mit $\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ ist einfach nur eine Merkregel, die aber so nicht weiter verwendet oder geschrieben wird.

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