Untermodul

08.11.2004, 21:18	Lorenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Untermodul Hallo! Würde mich echt freuen, wenn mir jemand in einfachen Worten erklären könnte, wie ich folgende Aufgabe lösen kann: Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. Sei N ein halbeinfacher R-Modul (d.h. N wird erzeugt von allen einfachen Untermoduln). Sei M ein Untermodul von N. Zeigen Sie, dass ein Untermodul L Teilmenge N mit {0} = L geschnitten M und N = L + M existiert. Hinweis: Wenden Sie das Zornsche Lemma auf die Menge X={L / L ist Untermodul von N und {0] = L geschnitten M } an. Verstehe davon grad gar nix.... Danke schön!
09.11.2004, 01:46	wir beide	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beweis siehe Falko Lorenz, Einführung in die Algebra II, 2. Auflage, §28, Lemma, S. 182 Um Zorns Lemma auf die Menge X anwenden zu können, musst du nachweisen, dass X nichtleer und induktiv geordnet ist. Das ist recht einfach (oder halb einfach g). Sei L ein maximales Element von X. Sei nun E ein einfacher Untermodul von N. Ist E eine Teilmenge von L, dann ist E auch Teilmenge von L+M. Ist E nicht Teilmenge von L, dann ist E+L ein echter Obermodul von L und nach Wahl von L ist dann M geschnitten mit (L+E) nicht der Nullmodul. Es gibt also m aus M, l aus L, e aus E, mit m = l + e != 0. Weise nach, dass e ungleich 0 ist und deswegen E Teilmenge von M+L ist (hier geht ein, dass E einfach ist). Zuletzt verwende, dass N halbeinfach ist, um zu zeigen, dass N Teilmenge von M+L ist. LG, wir beide
11.11.2004, 12:52	Lorenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsversuch Hallo! Also jetzt habe ich mir folgendes überlegt: m = l + e !=0 Wäre jetzt e=0, stünde da: m=l !=0 Da aber L geschnitten M nur Null ist, kann m=l folglich nur 0=0 sein. Da aber m=l !=0 sein soll, kann e nicht gleich Null sein und folglich gilt: e != 0 Aber wie geht's jetzt weiter?!
11.11.2004, 19:55	wir beide	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo du, Gut gemacht. Nun stelle die Gleichung nach e um. Gruss, wir beide
11.11.2004, 20:10	Lorenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! e = m - l !=0 Aber was sagt mir das? Sorry, aber ich komm net weiter und brauch die Aufgabe morgen. Könnt ihr mir nochmal ganz schnell auf die Sprünge helfen?!
12.11.2004, 00:57	wir beide	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet, dass E geschnitten (M+L) ungleich {0} ist. Dieser Schnitt ist aber ein Untermodul von E. E ist einfach, also ... Gruss, wir beide
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