Elementarmatrizen

08.11.2004, 21:42

Gast braucht Hilfe

Elementarmatrizen

weiß nicht recht, wie ich folgende Aufgabe zu rechnen habe: Hoffe, mir kann jemand helfen!

A=
-1 0 2
1 0 -1
0 2 2

A soll als ein Produkt von Elementarmatrizen geschrieben werden.

Wie fange ich an??

08.11.2004, 22:15

JochenX

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hallo GBH,

weißt du denn was elementarmatrizen sind?

mfg jochen

09.11.2004, 08:19

gast braucht hilfe

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ja, weiß, das es diese drei Formen gibt Pij i=/j und Di(r) mit rElement R und Tij(s) mit sElement R und i =/j. <und das dies verschiedene Verknüpfungen auf A sind. Das sie alle invertierbar sind,... Was ich noch nicht so ganz verstanden habe, geht man immer von der Einsmatrix aus als A?? Oder kann man irgendein A nehmen? Und müsste ich dann bei der Aufgabe einfach zwei Elementarmatrizen finden, egal welchen Typs, das diese miteinander multipliziert das oben genannte A ergeben.
Gibt es dafür einen Trick? Scheint mir etwas langwierig, das auszuprobieren.
Das was man mit der Einsmatrix verknüpft gibt A???

09.11.2004, 09:01

gast braucht hilfe

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Also, da hab ihc grad noch was verwechselt. Elementarmatrizen sind meiner Kenntnis nach Matrizen, die an der Stelle i bzw. i,j die Stelle 1 und sonst 0 haben. Dann gibt es eben diese drei oben genannten verknüpfungen. Also alles nichts mit der Elementarmatrix zu tun, oder?!
Meine übrige Frage dazu bleibt trotzdem bestehen... verwirrt

09.11.2004, 12:02

JochenX

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schau mal hier:
http://www-hm.ma.tum.de/archiv/in1/ws0001/folien/folie23.pdf
da kannst du nachlesen, was Elementarmatrizen sind.
und insbesondere kannst du heir auch gut nachvollziehen, welche Arten von Elementarmatrizen es gibt....

und dann überlege: seien deine Elementarmatrizen C1, C2, C3,....
dann muss gelten: C1*C2*.... = A
klar soweit? also versuche die Einheitsmatrix durch anmultiplizieren solcher Elementarmatrizen zu A umzuwandeln.......

mfg jochen

ps: versuche, bitte, dich etwas ordentlicher auszudrücken

Zitat:

ja, weiß, das es diese drei Formen gibt Pij i=/j und Di(r) mit rElement R und Tij(s) mit sElement R und i =/j.

damit kann (und will) ich beim besten willen nichts anfangen.....

13.11.2004, 15:17

Svende

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So kurze Frage dazu: Kann es sein, dass ich auf A verschiedene elementare Zeilenumforrmungen anwenden muss. Und dass einige der dadurch entstandenen Elementarmatrizen miteinander multipliziert A ergeben??? Dass ich praktisch auf die auf dem Weg zur Treppennormalform entstehenden Elementarmatrizen multipliziere und A erhalte?

13.11.2004, 23:32

Poldi

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Hallo!
Die Aufgabe kommt mir furchtbar bekannt vor! Auch ein leidgeprüfter Hagener???

Ich hab's so gemacht, wie Du in Deinem letzten Post geschrieben hast, nur dass nicht einige der Elementarmatrizen, sondern ALLE verwendeten miteinander multipliziert A ergeben, wobei man aufpassen muss: Man muss sie in umgekehrter Reihenfolge anordnen, als man Umformungen vorgenommen hat, denn die Multiplikation mit einer Elementarmatrix führt ja dann zu der gewünschten Zeilenumformung, wenn man von links mit ihr multipliziert.

War das jetzt verständlich??
Falls nicht, gib bescheid. Zur Not poste ich Dir dann noch mein Ergebnis - rechtzeitig vor Montag Augenzwinkern

14.11.2004, 13:12

Svende

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Also, cih ahbe jetzt die Elementare Zeilenumformung vorgeniommen und habe folgendes Ergebnis:

A'=

-1 0 2 / 1 0 0
1 0 -1 / 0 1 0
0 2 2 / 0 0 1

=
1 0 -1 / 0 1 0
-1 0 2 / 1 0 0
0 2 2 / 0 0 1

1 0 -1 / 0 1 0
0 0 1 / 1 1 0
0 2 2 / 0 0 1

1 0 -1 / 0 1 0
0 2 2 / 0 0 1
0 0 1 / 1 1 0

1 0 -1 / 0 1 0
0 1 1 / 0 0 1/2
0 0 1 / 1 1 0

1 0 0 / 1 2 0
0 1 0/ -1 -1 1/2
0 0 1 / 1 0 0

Aber was daran sind jetzt die Elementarmatrizen?? Doch eigentlich die Aktionen die ich ausgeführt habe, um die Matrizen zu erhalten oder??? Oder die rechts stehenden?? Die miteinander multipliziert ergeben jedoch nicht QA. Wo liegt mein Fewheler, bzw. wie schreibe ich die Aktionen die ich durchgeführt habe in Form von Matrizen??? Bitte helft mir!

14.11.2004, 14:53

Poldi

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Die Elementarmatrizen entsprechen den Aktionen die Du ausgeführt hast:

Erste Aktion: Tausch von Zeile 1 und zwei entspricht der Elementarmatrix $\begin{eqnarray*} P_{12} \end{eqnarray*}$ also der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Diese muss in Deinem Produkt am Ende ganz rechts stehen. Dass die Matrix dem entspricht, was rechts vom Strich steht ist nur im ersten Schritt so.
Nehmen wir die zweite Aktion:
Addition von Zeile 1 zu Zeile 2. Das entspricht der Elementarmatrix $\begin{eqnarray*} T_{21}(1) \end{eqnarray*}$ . Die sieht so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Diese muss in Deinem Produkt am Ende an die vorletzte Stelle, also links neben $\begin{eqnarray*} P_{12} \end{eqnarray*}$ .
Deine dritte Aktion entspricht $\begin{eqnarray*} P_{23} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Kommt wieder links daneben im Endprodukt.
Deine vierte Aktion ist $\begin{eqnarray*} D_2(0,5) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Wieder links daneben.
Dein letzter Schritt sind zwei Aktionen auf einmal, nämlich:
$\begin{eqnarray*} T_{13} (1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_{23} (-1) \end{eqnarray*}$ , also noch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ links dran fügen. Jetzt schreib sie mal alle nebeneinander und multipliziere dan, dann müsste eigentlich A rauskommen.

Gruß Poldi

Edit:
Hab's gerade probiert. Kommt bei mir nicht A raus. Irgendwo haben wir einen Fehler, den ich jetzt auf die Schnelle nicht finde! Aber das Grundprinzip müsste stimmen. Da ich jetzt los muss hier nur schnell mein Ergebnis: Ich hab die Zeilenumformungen in etwas andere Reihenfolge gemacht und bekomme folgendes Produkt von Elementarmatrizen raus:

$\begin{eqnarray*} T_{12}(-1) \cdot T_{21}(-1) \cdot P_{12} \cdot D_3(2) \cdot T_{32}(1) \cdot P_{23} \end{eqnarray*}$
Damit geht's auf jeden Fall, hab's probiert.

Schaue heute abend spät nochmal rein, wenn Du noch Fragen hast!

14.11.2004, 15:00

Svende

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Vielen DANK!!! Und wo wir grad dabei sind ;-)...
Bei Aufgabe 6 setzte ich einfach bestimmte Zahlen für a ein, so dass die Bedingungen von 1.,2.,3. rauskommen, oder?

14.11.2004, 19:15

JochenX

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Was ist Aufgabe 6?

14.11.2004, 20:18

Gast

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Aufgabe 6 ist folgende:

A=
1 -1 -1
1 0 a
1 a 0 Element Mnn (R). Welche Bedingungen muss a Element (R) erfüllen, damit das linerare Gleichungssystem
Ax=
2
1
1

1. genau ein Lösung hat
2. mehr als eine Lösung hat
3. keine Lösung hat

Ich dachte mir da Ax= b

ist b=
2
1
1

Dann bestimme ich die erweiterte Koeffizientenmatrix

A'=
1 -1 -1 / 2
1 0 a / 1
1 a 0 / 1

Nun setze ich in a verschiedene Zahlen ein und schaue, bei welcher jeweils eine der drei oben genannten Bedingungen erfüllt ist, oder????

14.11.2004, 20:20

Gast

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RE: Elementarmatrizen
Und ich hätte noch mal ne FRage zu der ersten Aufgabe: wenn ich die ganzen Elementarmatrizen von hinten nach vorne miteinadner multipliziere, kommt da auf gar keinen Fall A raus. Was mache ich falsch???Stimmt das, was da steht??

14.11.2004, 20:36

Gast

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RE: Elementarmatrizen
Hallo,

Du musst die Matrizen erstens in umgekehrter Reihenfolge benutzen (da das Kommutativgesetz nicht immer gilt) und zweitens die Inversen der einzelnen Elementarmatrizen.

Gruß vom Gast

14.11.2004, 21:07

Gast

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Das heißt, die inverse Matrix von der letzten Matrix ist

1 0 0
0 1 1
0 0 1

und damit der erste Faktor des Produkts der Elementarmatrizen????

Irgendwie haut das alles nicht hin...... unglücklich

14.11.2004, 21:49

Linuxer

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Also bei mir hat das geklappt. Hast Du auch die Inversen hinsichtlich der Addition und Multiplikation jeweils richtig erstellt? Da hatte ich bei mir noch einen Fehler drin!

Ich tippel gerade meine Lösungen ab, wenn ich bei der Aufabe bin kann ich das Ergebnis ja posten!

14.11.2004, 22:13

Gast

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Das wäre super, bei der Afgabe hakts irgendwie total.... verwirrt

14.11.2004, 22:43

Linuxer

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Ok,

hier ist meine Lösung. Hab sie eben noch am Rechner ausprobiert. Sollte korrekt sein, Handrechnung und Computer.

T_{13}(2)T_{23}(-1)P_{23}T_{21}(-1)D_3(\frac{1}{2})D_1(-1)A=I_m

auflösen nach A und das I_m wegfallen lassen!

A=D_1(-1)D_3(2)T_{21}(1)P_{23}T_{23}(1)T_{13}(-2)

Hast Du eigentlich eine Lösung für 3.7 oder 3.8? Da hab ich mir die Zähne dran ausgebissen!

Gruß Linuxer

14.11.2004, 22:48

Svende

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was bedeutet dieses frac...?

3.8 guck mal unter symmetrische matrizen irgendwo auf seite 2 oder 3 da steht die lösung...

14.11.2004, 22:54

Linuxer

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frac=fraction=1/2, damit kann man unter Latex einen Bruch darstellen

Wenn mir vorher nicht die Augen zufallen werd ich da noch einen Blick drauf werfen Augenzwinkern

! Danke!

14.11.2004, 22:55

JochenX

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nur kurz dazu:

Zitat:

was bedeutet dieses frac...?

"\frac{a}{b}" kommt aus latex und soll einen bruch darstellen (zähler a, nenner b)

mfg jochen

ps: und ich halte es nicht gerade sehr sinnvoll, hier über aufgabennummern zu diskutieren, da das anderen überhaupt nichts bringt..

14.11.2004, 22:58

Linuxer

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Du hast recht, aber ich habe dieses Forum erst vor einigen Stunden entdeckt und leider ist morgen schon Abgabetermin. Werde mich bessern smile

14.11.2004, 23:57

Poldi

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Mein Gott, hat sich ganz Hagen hier versammelt?
Ist wahrscheinlich zu spät, weil heut schon Einsendeschluss ist, aber ich schreib's trotzdem rein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Das war jetzt $\begin{eqnarray*} T_{12}(-1) \cdot T_{21}(-1) \end{eqnarray*}$ . Jetzt multipliziere ich das Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} P_{12} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dieses Ergebnis jetzt mal $\begin{eqnarray*} D_3(2) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Jetzt mal $\begin{eqnarray*} T_{32}(1) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Und zuletzt noch mal $\begin{eqnarray*} P_{23} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sag bloß keiner, dass ich mich verrechnet hab! hab's nämlich gestern weg geschickt!!!

Bei 6 hab ich raus:

Keine Lösung für a = -2
Eine Lösung für $\begin{eqnarray*} a \in R ohne {0; -2} \end{eqnarray*}$
Mehr als eine für a = 0

Erklärung ein ander mal! Muss jetzt ins Bett!!! Schläfer