Beweis in Potenzmenge

26.03.2007, 22:12

-=anni=-

Beweis in Potenzmenge

Hallo!

Folgende Aussage soll bewiesen werden:

$\begin{eqnarray*} P(A) \cap P(D) = P( A \cap D ) \end{eqnarray*}$

Ich habe mit den Definitionen der Mengen Potenzmenge, sowie der Schnittmenge gearbeitet.
Hier ist mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} P(A) \cap P(D) = \{ x | x \in \{Z|Z \subseteq A\} \wedge x \in \{Z|Z \subseteq D\} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( A \cap D) = \{ Z|Z \subseteq \{x|x\in A \wedge x \in D \}\} \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt sicher nur noch ein kleiner Schritt, aber ich sehe es einfach nicht traurig

26.03.2007, 22:53

papahuhn

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RE: Beweis in Potenzmenge
Soo klein ist der Schritt gar nicht. Im Prinzip ist es eine gute Idee, die Mengenbeziehung auf logische Formeln zu reduzieren. Damit bist du aber noch nicht fertig. Probiers mal so: $\begin{eqnarray*} M \in P(A) \cap P(D) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow M \in P(A \cap D) \end{eqnarray*}$ .

Bei den Zwischenschritten hilft Prädikatenlogik und die Erkenntnis, dass man einen Allquantor über der gleichen Variablen aus einer Konjunktion raus bzw. reinziehen darf.

26.03.2007, 23:03

-=anni=-

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RE: Beweis in Potenzmenge
Danke für die Antwort!

Mit der Prädikatenlogik habe ich mich leider noch nicht so richtig beschäftigt. Das Problem ist, das ich nicht so viel Zeit habe, um diese Aufgabe zu verstehen. Das bedeutet, ich muss sie irgendwie anders lösen. Ein neues Thema anzufangen wäre da für mich einfach zu kompliziert :-)

Hast Du vielleicht noch eine andere Idee, wie ich zu einem Ergebnis kommen könnte ? Ohne die Prädikatenlogik ?

Vielen Dank im Voraus !

-=anni=-

26.03.2007, 23:13

papahuhn

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RE: Beweis in Potenzmenge

Zitat:

Original von -=anni=-

Hast Du vielleicht noch eine andere Idee, wie ich zu einem Ergebnis kommen könnte ? Ohne die Prädikatenlogik ?

Vielen Dank im Voraus !

-=anni=-

Ja, das geht eigentlich auch. Der Beweisfluß unter Benutzung der Prädikatenlogik sieht schematisch so aus: $\begin{eqnarray*} M \in P(A) \cap P(D) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \psi \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \varphi \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow M \in P(A \cap D) \end{eqnarray*}$ .
Prädikatenlogik kannst du nun vermeiden, indem du die Äquivalenz der Aussagen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ als Hilfsaussage nachweist.

29.03.2007, 11:25

-=anni=-

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So, ich hab nochmal darüber nachgedacht:
Was meinst du dazu:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap D) = \{Z|Z \subseteq ( A \cup D ) \} \end{eqnarray*}$
Def. Teilmenge:
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B := \forall( x\in A \rightarrow x \in B) \end{eqnarray*}$

Und nun die Anwendung:
$\begin{eqnarray*} P(A \cap D) = \{Z|\forall x ( x\in Z \rightarrow x \in (A \cap D)) \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A \cap D) = \{Z|\forall x ( \neg x\in Z \vee x \in (A \cap D)) \} \end{eqnarray*}$

Nun Distributiv ( keine Ahnung ob ich das jetzt darf :-)
$\begin{eqnarray*} P(A \cap D) = \{Z|\forall x ( (\neg x\in Z \vee x \in A )\cap (\neg x\in Z \vee x \in D ))) \} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Injektion einbauen:
$\begin{eqnarray*} P(A \cap D) = \{Z|\forall x ( (x\in Z \rightarrow x \in A )\cap ( x\in Z \rightarrow x \in D ))) \} \end{eqnarray*}$

Und dann die Teilmengendefinition:
$\begin{eqnarray*} P(A \cap D) = \{Z| (Z \subseteq A) \cup (Z \subseteq D) \} \end{eqnarray*}$

Es folgt:
$\begin{eqnarray*} P(A \cap D) = P(A) \cap P(D) \end{eqnarray*}$

So... ich hab leider keine Ahnung ob das so korrekt ist :-(

29.03.2007, 12:45

papahuhn

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Du hast ziemliche Formfehler drin, aber man kann die grobe Richtung erkennen.
Bei einer Mengenformalisierung $\begin{eqnarray*} \{x | \varphi \} \end{eqnarray*}$ muss die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ vom Trennungszeichen '|' eine Aussage sein. Du hast dort einmal eine Menge stehen, und in anderen Fällen bildest du den Schnitt von Aussagen.

Von Formfehlern mal abgesehen fehlt von
$\begin{eqnarray*} \{Z|\forall x ( (x\in Z \rightarrow x \in A )\cap ( x\in Z \rightarrow x \in D ))) \} \end{eqnarray*}$
zu
$\begin{eqnarray*} \{Z| (Z \subseteq A) \cap (Z \subseteq D) \} \end{eqnarray*}$

ein gedanklicher Zwischenschritt, nämlich das Herausziehen des Allquantors aus einer Konjunktion.

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